Question

已知P（x，y）為函數(shù)y=1+lnx圖象上一點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，記直線OP的斜率k=f（x）．
（I）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（m＞0）上存在極值，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（II）當(dāng) x≥1時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍；
（III）求證[（n+1）!]²＞（n+1）•e^n-2（n∈N^*）．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由斜率公式求出k=f（x），求出導(dǎo)數(shù)f′（x），根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)可判斷f（x）的極值情況，要使函數(shù)f（x）在區(qū)間（其中m＞0）上存在極值，須有極值點(diǎn)在該區(qū)間內(nèi)，從而得不等式組，解出即可；
（Ⅱ）由得，令，則問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)g（x）的最小值問題，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)g（x）的單調(diào)性，由單調(diào)性即可求得其最小值；
（Ⅲ）由（Ⅱ） 知恒成立，即 ，令x=n（n+1），則，
令n=1，2，3，…，n可得n個(gè)不等式，相加用裂項(xiàng)法化簡(jiǎn)后再變形即可得到結(jié)論；
解答：解：（Ⅰ）由題意，x＞0，
所以，
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f'（x）＞0；當(dāng)x＞1時(shí)，f'（x）＜0．
所以f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減．
故f（x）在x=1處取得極大值．
因?yàn)楹瘮?shù)f（x）在區(qū)間（其中m＞0）上存在極值，
所以，解得．
故實(shí)數(shù)m的取值范圍是．
（Ⅱ）由得，
令，則．
令h（x）=x-lnx，則，
因?yàn)閤≥1，所以h'（x）≥0，故h（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增．
所以h（x）≥h（1）=1＞0，從而g'（x）＞0，g（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，g（x）≥g（1）=2，
所以實(shí)數(shù)t的取值范圍是（-∞，2]．
（Ⅲ）由（Ⅱ） 知恒成立，
即 ，
令x=n（n+1），則，
所以，，…，．
以上各式相加，=，
所以1×2²×3²×…×n²×（n+1）＞e^n-2，
所以[（n+1）!]²＞（n+1）•e^n-2（n∈N^*）．
點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值，考查恒成立問題及不等式的證明，恒成立問題往往轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值，解決本題（Ⅲ）問的關(guān)鍵是利用（Ⅱ）結(jié)論構(gòu)造不等式．