Question

已知P(1，1)為橢圓＝1內(nèi)一定點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P引一弦，使此弦在P點(diǎn)被平分，求此弦所在的直線方程．

Answer 1

答案：
解析：

解法一：設(shè)所求直線方程為y－1＝k(x－1)，把它代入橢圓方程消去y并整理得：－4k(k－1)x＋(－4k－2)＝0①設(shè)過(guò)點(diǎn)P的弦交橢圓于A()，B()且點(diǎn)P平分AB，則是方程①的兩個(gè)根．由韋達(dá)定理得 　　∴＝2，解得k＝－， 　　故所求直線方程為y－1＝－(x－1)，即：x＋2y－3＝0． 　　解法二：設(shè)AB為所求的弦，AB所在直線的斜率為k，A()，B()，則由題意得： 　　①－② 得＝0⑥ 　　把③④代入⑥得：＝0 　　兩邊同除以 　　把⑤代入⑦得＋k＝0 ∴k＝－． 　　由點(diǎn)斜式得弦所在直線的方程為y－1＝－(x－1)，即x＋2y－3＝0． 　　分析一 只須求出弦所在直線的斜率即可． 　　分析二 本題若能注意到弦的兩端點(diǎn)在橢圓上，P為弦的中點(diǎn)和弦所在直線的斜率，利用方程的思想，很快可獲解．

提示：

關(guān)于中點(diǎn)弦問(wèn)題的求解，除了用韋達(dá)定理外，也可利用方程的思想來(lái)解決．解法二中AB兩點(diǎn)設(shè)而不求，方程組的布列及解法較典型，應(yīng)當(dāng)反思．一般地直線與圓錐曲線的交點(diǎn)是一個(gè)或兩個(gè)，以交點(diǎn)坐標(biāo)為參數(shù)，則參數(shù)有兩個(gè)或四個(gè)，因此所列方程的個(gè)數(shù)是三個(gè)或五個(gè)，即比參數(shù)個(gè)數(shù)多一個(gè)，它們通常由如下條件列出： 　　(1)弦的兩端點(diǎn)坐標(biāo)滿足曲線方程； 　　(2)弦的中點(diǎn)坐標(biāo)滿足中點(diǎn)公式； 　　(3)弦的兩端點(diǎn)與弦所在直線上其他給定的點(diǎn)共線，從而斜率相等．