Question

設函數f(x)＝x³＋ax²＋bx(x＞0)的圖象與直線y＝4相切于M(1，4)．

(Ⅰ)求f(x)＝x³＋ax²＋bx在區(qū)間(0，4]上的最大值與最小值；

(Ⅱ)設存在兩個不等正數s，t(s＜t)，當x∈[s，t]時，函數f(x)＝x³＋ax²＋bx的值域是[ks，kt]，求正數k的取值范圍．

Answer 1

答案：
解析：

　　(Ⅰ)(x)＝3x²＋2ax＋b．依題意則有：

　　所以解得所以f(x)＝x³－6x²＋9x；

　　(x)＝3x²－12x＋9＝3(x－1)(x－3)，由(x)＝0可得x＝1或x＝3．

　　(x)，f(x)在區(qū)間(0，4]上的變化情況為：

　　所以函數f(x)＝x³－6x²＋9x在區(qū)間[0，4]上的最大值是4，最小值是0．

　　(2)由函數的定義域是正數知，s＞0，故極值點(3，0)不在區(qū)間[s，t]上；

　　①若極值點M(1，4)在區(qū)間[s，t]上，此時0＜s≤1≤t＜3，

　　故有(i)或(ii)

　　(i)由k＝，1≤t＜3知，k∈，當且僅當t＝1時，k＝4；

　　再由k＝(s－3)²，0＜s≤1知，k∈[4，9)，當且僅當s＝1時，k＝4．

　　由于s≠t，故不存在滿足要求的k值．

　　(ii)由s＝f(t)＝f(t)＝，及0＜s≤1可解得2≤t＜3，

　　所以k＝，2≤t＜3知，k∈；

　　即當k∈時，存在t＝∈[2，3)，s＝f(t)＝∈(0，1]，且f(s)≥4s＝f(t)＞f(t)，滿足要求．

　　②若函數f(x)在區(qū)間[s，t]上單調遞增，則0＜s＜t≤1或3＜s＜t，

　　且，故s，t是方程x²－6x＋9＝k的兩根，

　　由于此方程兩根之和為3，故[s，t]不可能同在一個單調增區(qū)間內；

　�、廴艉瘮礷(x)在區(qū)間[s，t]上單調遞減，則1＜s＜t＜3，，

　　兩式相減并整理得s²(s－3)³＝t²(t－3)²，由1＜s＜t＜3知s(s－3)＝t(t－3)，即s＋t＝3，

　　再將兩式相減并除以s－t得

　�。璳＝(s²＋st＋t²)－6(s＋t)＋9＝(s＋t)²－6(s＋t)＋9－st＝－st，

　　即k＝st，所以s，t是方程x²－3x＋k＝0的兩根，

　　令g(x)＝x²－3x＋k，

　　則，即存在s＝滿足要求．

　　綜上可得，當＜k＜時，存在兩個不等正數s，t(s＜t)，使x∈[s，t]時，函數f(x)＝x³－6x²＋9x的值域恰好是[ks，kt]．