Question

已知長方形ABCD，AB=3，BC=2，E為BC中點(diǎn)，P為AB上一點(diǎn)
（1）利用向量知識判定點(diǎn)P在什么位置時，∠PED=45⁰；
（2）若∠PED=45⁰，求證：P、D、C、E四點(diǎn)共圓。

Answer 1

(Ⅰ) 點(diǎn)P為靠近點(diǎn)A的AB三等分處  (Ⅱ) 見解析

：(Ⅰ)利用坐標(biāo)系可以確定點(diǎn)P位置建立平面直角坐標(biāo)系則C（2，0），D（2，3），E（1，0）設(shè)P（0，y）∴ =（1，3），=（-1，y）∴    
·=3y-1代入cos45⁰=解之得（舍），或y=2
∴ 點(diǎn)P為靠近點(diǎn)A的AB三等分處
(Ⅱ)  當(dāng)∠PED=45⁰時，由（1）知P（0，2） ∴ =（2，1），=（-1，2）
∴·=0∴ ∠DPE=90⁰又∠DCE=90⁰∴ D、P、E、C四點(diǎn)共圓
說明：利用向量處理幾何問題一步要驟為：①建立平面直角坐標(biāo)系；②設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)；③求出有關(guān)向量的坐標(biāo)；④利用向量的運(yùn)算計算結(jié)果；⑤得到結(jié)論。