Question

（本小題滿分13分）

已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD為等腰直角三角形，AC⊥AD，且AD=DE=2AB，F(xiàn)為CD中點(diǎn).

（Ⅰ）求證：平面BCE⊥平面CDE；

（Ⅱ）求直線BF和平面BCE所成角的正弦值.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）直線和平面所成角的正弦值為．

【解析】(I)利用向量法證明先建立空間直角坐標(biāo)系，求出兩個面的法向量，再證兩個法向量垂直即可.

（II）利用向量法求線面角，設(shè)直線BF和平面BCE所成角為,平面BCE的法向量為,則利用求值即可.

以為原點(diǎn)，、、分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示．

    ……1分

設(shè)，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012111916403012884105/SYS201211191641474726893474_DA.files/image014.png">為等腰直角三角形，，且，

所以，，，，                ……2分

所以，，，． ……分

（Ⅰ）設(shè)平面的法向量為，則由，得，

令，則．                                          ……5分

設(shè)平面的法向量為，則由，得，

令，則．                                            ……7分

所以，所以平面平面．                         ……8分

（Ⅱ）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012111916403012884105/SYS201211191641474726893474_DA.files/image038.png">為中點(diǎn)，所以，．

則．                     ……11分

設(shè)直線和平面所成角為，則

所以直線和平面所成角的正弦值為．                      ……15分