Question

過雙曲線的右焦點(diǎn)F₂作垂直于實(shí)軸的弦PQ，F(xiàn)₁是左焦點(diǎn)，若∠PF₁Q=90°，則雙曲線的離心率是（ ）
A．
B．
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)過雙曲線的右焦點(diǎn)F₂作垂直于實(shí)軸的弦PQ，得到P，Q，F(xiàn)₂的橫坐標(biāo)都是c，且P和Q關(guān)于F點(diǎn)對稱的，設(shè)出點(diǎn)P，Q的坐標(biāo)，∠PF₁Q=90°，根據(jù)•=0求得關(guān)于a，b，和c的一個(gè)方程，根據(jù)c2=a2+b2，消去b，得到關(guān)于a，c的一個(gè)方程，即可解得雙曲線的離心率．
解答：解：由于PQ過F2，所以P，Q，F(xiàn)₂的橫坐標(biāo)都是c，且由雙曲線的對稱性可知，P和Q關(guān)于F點(diǎn)對稱的，也就是P和Q的縱坐標(biāo)是相反數(shù)，
那么設(shè)P（c，y），Q（c，-y），而F₁（-c，0）
那么=（2c，y），=（2c，-y）
∵∠PF₁Q=90°，∴•=0，
即（2c，y）•（2c，-y）=0
∴4c²-y²=0，
由于P在雙曲線上，所以P滿足，
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023213325926516750/SYS201310232133259265167002_DA/8.png">=e²，
把上式變形，得y²=b²（e²-1）
代入4c²-y²=0，有4c²-b²（e²-1）=0
即4c²-（c²-a²）（e²-1）=0
同時(shí)除以a²，有4e²-（e²-1）（e²-1）=0
整理上式，有e⁴-6e²+1=0
解得e²=3±，∵e＞1
∴e²═3+=（1+）²
∴e=1+
故選B．
點(diǎn)評：此題是個(gè)中檔題，考查向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算和雙曲線的定義，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)結(jié)合的思想方法，求雙曲線的離心率即尋求關(guān)于a，c的一個(gè)齊次式，解此方程即可求得結(jié)果，體現(xiàn)方程的方法．