Question

已知f（x）=xlnx，g（x）=-x²+ax-3．
（Ⅰ）求函數f（x）在[t，t+1]（t＞0）上的最小值；
（Ⅱ）對一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，求實數a的取值范圍；
（Ⅲ）證明：對一切x∈（0，+∞），都有l(wèi)nx＞

1

ex

-

2

ex

成立．

Answer 1

考點：利用導數求閉區(qū)間上函數的最值,導數在最大值、最小值問題中的應用

專題：導數的綜合應用

分析：（Ⅰ）求函數f（x）在某區(qū)間的最小值，先求該函數的導函數，再判斷單調性，因為t是參數，要進行分類討論；
（Ⅱ）求實數a的取值范圍，2f（x）≥g（x）恒成立，就是求函數的最值問題，
（Ⅲ）本題設m（x）=xlnx＞

x

e2

-

2

e

 (x∈(0，+∞))，也是求m（x）=xlnx的最值問題．

解答： 解：（Ⅰ）∵f′（x）=lnx+1，
當x∈（0，

1

e

），f′（x）＜0，f（x）單調遞減，當x∈（

1

e

，+∞），f′（x）＞0，f（x）單調遞增，
①0＜t＜

1

e

＜t+1，即0＜t＜

1

e

時，f（x）_min=f(

1

e

)=-

1

e

，f（x）_min=f（t）=tlnt
②

1

e

≤t＜t+1，即t≥

1

e

時，f（x）在[t，t+1]上單調遞增，f（x）_min=f（t）=tlnt，
∴f(x)min=

- 1 e ，  0＜t＜ 1 e tlnt，  t≥ 1 e

（Ⅱ）2xlnx≥-x²+ax-3，則a≤2lnx+x+

3

x

，
設h（x）=2lnx+x+

3

x

，x＞0，則h′（x）=

(x+3)(x-1)

x2

，
①x∈（0，1），h′（x）＜0，h（x）單調遞減，
②x∈（1，+∞），h′（x）＞0，h（x）單調遞增，
∴h（x）_min=h（1）=4，對一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，
∴a≤4．
（Ⅲ）問題等價于證明xlnx＞

x

e2

-

2

e

 (x∈(0，+∞))，
由（Ⅰ）可知f（x）=xlnx，（x∈（0，+∞））的最小值是-

1

e

，當且僅當x=

1

e

時取到，
設m（x）=xlnx＞

x

e2

-

2

e

 (x∈(0，+∞))，則m′(x)=

1-x

ex

，
易知m(x)min=m(1)=-

1

e

，當且僅當x=1時取到，
從而對一切x∈（0，+∞），都有都有l(wèi)nx＞

1

ex

-

2

ex

成立．

點評：本題考查了導數在函數的單調性，最值的應用，注意求參數時分類討論，以及注意定義域．