Question

12．在極坐標系中，點M坐標是$（{2，\frac{π}{3}}）$，曲線C的方程為ρ=2$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$）；以極點為坐標原點，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標系，直線l經過點M和極點．
（1）寫出直線l的極坐標方程和曲線C的直角坐標方程；
（2）直線l和曲線C相交于兩點A、B，求線段AB的長．

Answer 1

分析 （1）根據直線l經過點M$（{2，\frac{π}{3}}）$和極點，可得直線l的極坐標方程，根據曲線C的方程為ρ=2$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$）可得曲線C的直角坐標方程；
（2）直線l的直角坐標方程為y=$\sqrt{3}x$，曲線C的表示以（1，1）點為圓心，以r=$\sqrt{2}$為半徑的圓，代入圓的弦長公式，可得答案．

解答 解：（1）直線l經過點M$（{2，\frac{π}{3}}）$和極點．
∴直線l的極坐標方程為：$θ=\frac{π}{3}$，（ρ∈R），
曲線C的方程為ρ=2$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$）=2sinθ+2cosθ可化為：ρ²=2ρsinθ+2ρcosθ
∴曲線C的直角坐標方程為：x²+y²-2x-2y=0；
（2）直線l的直角坐標方程為y=$\sqrt{3}x$，
曲線C的表示以（1，1）點為圓心，以r=$\sqrt{2}$為半徑的圓，
圓心到直線l的距離d=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$，
故|AB|=2×$\sqrt{{r}^{2}-l3qzrnz^{2}}$=$\sqrt{3}+1$

點評 本題考查的知識點是簡單曲線的極坐標方程，直線與圓的位置關系，難度中檔．