Question

11．在平面直角坐標(biāo)系中，已知△PAB的周長為8，且點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（-1，0），（1，0）．
（Ⅰ）試求頂點(diǎn)P的軌跡C₁的方程；
（Ⅱ）若動點(diǎn)P₁（x₁，y₁）在曲線C₁上，試求動點(diǎn)$Q（\frac{x_1}{3}，\frac{y_1}{{2\sqrt{2}}}）$的軌跡C₂的方程；
（Ⅲ）過點(diǎn)C（3，0）作直線l與曲線C₂相交于M，N兩點(diǎn)，試探究是否存在直線l，使得點(diǎn)N恰好是線段CM的中點(diǎn)．若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）確定頂點(diǎn)P的軌跡是以A，B為焦點(diǎn)的橢圓，但要除去橢圓的左右兩個頂點(diǎn)，即可求頂點(diǎn)P的軌跡C₁的方程；
（Ⅱ）若動點(diǎn)P₁（x₁，y₁）在曲線C₁上，利用代入法求動點(diǎn)$Q（\frac{x_1}{3}，\frac{y_1}{{2\sqrt{2}}}）$的軌跡C₂的方程；
（Ⅲ）假設(shè)存在直線l，使得點(diǎn)N恰好是線段CM的中點(diǎn)．設(shè)M（x₂，y₂），x₂≠±1，則x₂²+y₂²=1，點(diǎn)N在曲線C₂上，所以（$\frac{{x}_{2}+3}{2}$）²+（$\frac{{y}_{2}}{2}$）²=1，③．聯(lián)立②③，即可得出結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）由題意得頂點(diǎn)P滿足|PA|+|PB|=6，故頂點(diǎn)P的軌跡是以A，B為焦點(diǎn)的橢圓，但要除去橢圓的左右兩個頂點(diǎn)．橢圓的半焦距c=1，長半軸長a=3，所以b=2$\sqrt{2}$，
故軌跡的方程為$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{8}$=1（x≠±3）．----------------------------------------------------------------（4分）
（Ⅱ）由題意，動點(diǎn)P₁（x₁，y₁）在曲線C₁上，故$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{9}+\frac{{{y}_{1}}^{2}}{8}$=1（x₁≠±3）．--------①．
設(shè)Q（x，y），則∵$Q（\frac{x_1}{3}，\frac{y_1}{{2\sqrt{2}}}）$，代入①得x²+y²=1（x≠±1）．
故動點(diǎn)$Q（\frac{x_1}{3}，\frac{y_1}{{2\sqrt{2}}}）$的軌跡C₂的方程為x²+y²=1（x≠±1）．-----------（8分）
（Ⅲ）假設(shè)存在直線l，使得點(diǎn)N恰好是線段CM的中點(diǎn)．設(shè)M（x₂，y₂），x₂≠±1，則x₂²+y₂²=1 ②．
∵點(diǎn)N恰好是線段CM的中點(diǎn)，∴N（$\frac{{x}_{2}+3}{2}$，$\frac{{y}_{2}}{2}$），
又點(diǎn)N在曲線C₂上，所以（$\frac{{x}_{2}+3}{2}$）²+（$\frac{{y}_{2}}{2}$）²=1，③．
聯(lián)立②③，解得x₂=-1，y₂=0，與x₂≠±1矛盾．
故不存在滿足題意的直線l．---------------（12分）

點(diǎn)評 本題考查軌跡方程，考查代入法的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．