Question

在△ABC中，已知（a+b+c）（a+c-b）=3ac．
（1）求角B的度數(shù)；
（2）求2cos²A+cos（A-C）的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）整理（a+b+c）（a+c-b）=3ac得a²+c²-b²=ac，進(jìn)而利用余弦定理求得cosB，進(jìn)而求得B．
（2）根據(jù)（1）中的B，進(jìn)而可知A+C=

2π

3

，代入2cos²A+cos（A-C）進(jìn)而用倍角公式和兩角和公式化簡整理，根據(jù)A的范圍和正弦函數(shù)的性質(zhì)求得原式的范圍．

解答：解：（1）由（a+b+c）（a+c-b）=3ac得a²+c²-b²=ac
由余弦定理得cosB=

1

2

所以角B=

π

3

．
（2）由（1）知A+C=

2π

3

2cos2A+cos(A-C)=1+cos2A+cos(2A-

2π

3

)=1+cos2A-

1

2

cos2A+

3

2

sin2A=sin(2A+

π

6

)+1
由0＜A＜

2π

3

得

π

6

＜2A+

π

6

＜

3π

2

-1≤sin(2A+

π

6

)≤1
所以2cos²A+cos（A-C）的取值范圍為[0，2]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了余弦定理的應(yīng)用．考查了余弦定理，不等式等問題在解三角形問題中的應(yīng)用．