【題目】以直角坐標系的原點O為極點，x軸的正半軸為極軸，且兩個坐標系取相等的長度單位，已知直線l的參數(shù)方程為 （t為參數(shù)，0＜φ＜π），曲線C的極坐標方程為ρcos2θ=8sinθ．
（1）求直線l的普通方程和曲線C的直角坐標方程；
（2）設直線l與曲線C相交于A、B兩點，當φ變化時，求|AB|的最小值．

【答案】
（1）解：直線l的參數(shù)方程為 消去參數(shù)可得：xcosφ﹣ysinφ+2sinφ=0；

即直線l的普通方程為xcosφ﹣ysinφ+2sinφ=0；

曲線C的極坐標方程為ρcos2θ=8sinθ．可得：ρ2cos2θ=8ρsinθ．

那么：x2=8y．

∴曲線C的直角坐標方程為x2=8y


（2）解：直線l的參數(shù)方程帶入C的直角坐標方程，可得：t2cos2φ﹣8tsinφ﹣16=0；

設A，B兩點對應的參數(shù)為t1，t2，

則 ， ．

∴|AB|=|t1﹣t2|= = ．

當φ= 時，|AB|取得最小值為8


【解析】（1）直接消去直線l的參數(shù)可得普通方程；根據(jù)ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2 ， 進行代換即得曲線C的直角坐標方程．（2）將直線l的參數(shù)方程帶入C的直角坐標方程；設出A，B兩點的參數(shù)，利用韋達定理建立關(guān)系求解最值即可．

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標系中，直線l的方程為x+y+3=0，以直角坐標系中x軸的正半軸為極軸的極坐標系中，圓M的極坐標方程為ρ=2sinθ． （Ⅰ）寫出圓M的直角坐標方程及過點P（2，0）且平行于l的直線l1的參數(shù)方程；
（Ⅱ）設l1與圓M的兩個交點為A，B，求 的值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某品牌的汽車4S店，對最近100例分期付款購車情況進行統(tǒng)計，統(tǒng)計結(jié)果如表所示，已知分9期付款的頻率為0.4；該店經(jīng)銷一輛該品牌的汽車．若顧客分3期付款，其利潤為1萬元；分6期或9期付款，其利潤為2萬元；分12期付款，其利潤為3萬元．

付款方式

分3期

分6期

分9期

分12期

頻數(shù)

20

20

a

b


（1）若以表中計算出的頻率近似替代概率，從該店采用分期付款購車的顧客（數(shù)量較大）中隨機抽取3位顧客，求事件A：“至多有1位采用分6期付款”的概率P（A）；
（2）按分層抽樣的方式從這100位顧客中抽出5人，再從抽出的5人中隨機抽取3人，記該店在這3人身上賺取的總利潤為隨機變量η，求η的分布列及數(shù)學期望E（η）．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標系xoy中，曲線C1的參數(shù)方程為 （θ為參數(shù)），以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸，與直角坐標系xoy取相同的單位長度建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為ρ=2cosθ﹣4sinθ．
（1）化曲線C1 ， C2的方程為普通方程，并說明它們分別表示什么曲線；
（2）設曲線C2與x軸的一個交點的坐標為P（m，0）（m＞0），經(jīng)過點P作斜率為1的直線，l交曲線C2于A，B兩點，求線段AB的長．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在數(shù)列{an}和{bn}中，a1= ，{an}的前n項為Sn ， 滿足Sn+1+（ ）n+1=Sn+（ ）n（n∈N*），bn=（2n+1）an ， {bn}的前n項和為Tn ．
（1）求數(shù)列{bn}的通項公式bn以及Tn ．
（2）若T1+T3 ， mT2 ， 3（T2+T3）成等差數(shù)列，求實數(shù)m的值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某市為了制定合理的節(jié)電方案，供電局對居民用電進行了調(diào)查，通過抽樣，獲得了某年200戶居民每戶的月均用電量（單位：度），將數(shù)據(jù)按照[0，100），[100，200），[200，300），[300，400），[400，500），[500，600），[600，700），[700，800），[800，900]分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖．
（Ⅰ）求直方圖中m的值并估計居民月均用電量的中位數(shù)；
（Ⅱ）從樣本里月均用電量不低于700度的用戶中隨機抽取4戶，用X表示月均用電量不低于800度的用戶數(shù)，求隨機變量X的分布列及數(shù)學期望．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】將函數(shù)f（x）= sin2x﹣ cos2x+1的圖象向左平移 個單位，再向下平移1個單位，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，則下列關(guān)予函數(shù)y=g（x）的說法錯誤的是（ ）
A.函數(shù)y=g（x）的最小正周期為π
B.函數(shù)y=g（x）的圖象的一條對稱軸為直線x=
C. g（x）dx=
D.函數(shù)y=g（x）在區(qū)間[ ， ]上單調(diào)遞減

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓C： =1（a＞b＞0）過點P（1， ），離心率為 ．
（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）設F1、F2分別為橢圓C的左、右焦點，過F2的直線l與橢圓C交于不同兩點M，N，記△F1MN的內(nèi)切圓的面積為S，求當S取最大值時直線l的方程，并求出最大值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知圓C：（x﹣ ）2+（y﹣1）2=1和兩點A（﹣t，0），B（t，0）（t＞0），若圓C上存在點P，使得∠APB=90°，則當t取得最大值時，點P的坐標是（ ）
A.（ ， ）
B.（ ， ）
C.（ ， ）
D.（ ， ）

查看答案和解析>>

同步練習冊答案