Question

已知函數(shù)f（x）=alnx-ax-3（a∈R）
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）當(dāng)a=-2時，問：m在什么范圍取值時，對于任意的t∈[1，2]，函數(shù)g（x）=x³+x²[

m

2

+f′(x)]在區(qū)間（t，3）上總存在極值？

Answer 1

分析：（Ι）求導(dǎo)函數(shù)，分類討論，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)確定函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）函數(shù)g（x）=x³+x²[

m

2

+f′(x)]在區(qū)間（t，3）上總存在極值，可得函數(shù)g′（x）在區(qū)間（t，3）上總存在零點，進而可得g′（t）＜0，g′（3）＞0，由此可得結(jié)論．

解答：解：（Ι）由f′(x)=

a(1-x)

x

（x＞0）知：
當(dāng)a＞0時，函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（0，1），單調(diào)減區(qū)間是（1，+∞）；…（2分）
當(dāng)a＜0時，函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（1，+∞），單調(diào)減區(qū)間是（0，1）；…（4分）
當(dāng)a=0時，函數(shù)f（x）=-3是常數(shù)函數(shù)，無單調(diào)區(qū)間．      …（6分）
（Ⅱ）當(dāng)a=-2時，f（x）=-2lnx-ax-3，f′(x)=2-

2

x

．
故g(x)=x3+(2+

m

2

)x2-2x，…（7分）
∴g′（x）=3x²+（4+m）x-2，
∵函數(shù)g（x）=x³+x²[

m

2

+f′(x)]在區(qū)間（t，3）上總存在極值
∴函數(shù)g′（x）在區(qū)間（t，3）上總存在零點
∵函數(shù)g′（x）是開口向上的二次函數(shù)，且g′（0）=-2＜0
∴g′（t）＜0，g′（3）＞0
由g′（t）＜0，可得m＜

2

t

-3t-4，令H（t）=

2

t

-3t-4，則H′（t）=-

2

t2

-3＜0
∴H（t）在[1，2]上單調(diào)遞減，∴H（t）≥H（2）=-9，∴m＜-9
由g′（3）＞0，可得27+（4+m）×3-2＞0，∴m＞-

37

3

∴-

37

3

＜m＜-9時，對于任意的t∈[1，2]，函數(shù)g（x）=x³+x²[

m

2

+f′(x)]在區(qū)間（t，3）上總存在極值．

點評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查恒成立問題，考查學(xué)生的計算能力，正確求導(dǎo)是關(guān)鍵．