Question

下列函數(shù)中，既是R上的奇函數(shù)，又在R上單調(diào)遞增的是（　　）

A．y=x²

B．y=2^x

C．y=x|x|

D．y=sinx

Answer 1

分析：根據(jù)基本初等函數(shù)的單調(diào)性判定和奇偶性的定義，對(duì)A、B、C、D各項(xiàng)分別加以驗(yàn)證，不難得到正確答案．

解答：解：對(duì)于A，由于函數(shù)y=x²是偶函數(shù)，故A不正確；
對(duì)于B，若f（x）=2^x，則f（-x）=2^-x=(

1

2

)x≠-2^x，∴y=^x不是奇函數(shù)，故B不正確；
對(duì)于C，若f（x）=x|x|，則f（-x）=-x|x|=-f（x），說(shuō)明函數(shù)是奇函數(shù)，
而當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，f（x）=x²，顯然是（0，+∞）上的增函數(shù)，
當(dāng)x∈（-∞，0）時(shí)，f（x）=-x²，顯然是[0，+∞）上的增函數(shù)，
∴f（x）=x|x|在R上單調(diào)遞增，故C正確；
對(duì)于D，y=sinx在（0，+∞）上顯然不是增函數(shù)，故D不正確．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是熟練掌握函數(shù)奇偶性的定義的判定方法，以及掌握利用定義、圖象以及導(dǎo)數(shù)判定函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題．