Question

15．如圖，在各棱長均為2的三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)面A₁ACC₁⊥底面ABC，∠A₁AC=60°．
（1）求側(cè)棱AA₁與平面AB₁C所成角的正弦值的大小；
（2）已知點(diǎn)D滿足$\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{BA}$+$\overrightarrow{BC}$，在直線AA₁上是否存在點(diǎn)P，使DP∥平面AB₁C？若存在，請確定點(diǎn)P的位置，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）推導(dǎo)出A₁O⊥平面ABC，BO⊥AC，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O-xyz，利用向量法能求出側(cè)棱AA₁與平面AB₁C所成角的正弦值．
（2）假設(shè)存在點(diǎn)P符合題意，則點(diǎn)P的坐標(biāo)可設(shè)為P（0，y，z），則$\overrightarrow{DP}=（\sqrt{3}，y，z）$．利用向量法能求出存在點(diǎn)P，使DP∥平面AB₁C，其坐標(biāo)為（0，0，$\sqrt{3}$），即恰好為A₁點(diǎn)．

解答 解：（1）∵側(cè)面A₁ACC₁⊥底面ABC，作A₁O⊥AC于點(diǎn)O，
∴A₁O⊥平面ABC．
又∠ABC=∠A₁AC=60°，且各棱長都相等，
∴AO=1，OA₁=OB=$\sqrt{3}$，BO⊥AC．…（2分）
故以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O-xyz，
則A（0，-1，0），B（$\sqrt{3}$，0，0），A₁（0，0，$\sqrt{3}$），C（0，1，0），
∴$\overrightarrow{A{A}_{1}}$=（0，1，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=（$\sqrt{3}，0，-\sqrt{3}$），$\overrightarrow{AC}$=（0，2，0）．…（4分）
設(shè)平面AB₁C的法向量為$\overrightarrow{n}=（x，y，z）$，
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{A{B}_{1}}=\sqrt{3}x+2y-\sqrt{3}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=2y=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，0，1）．
設(shè)側(cè)棱AA₁與平面AB₁C所成角的為θ，
則sinθ=|cos＜$\overrightarrow{A{A}_{1}}$，$\overrightarrow{n}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{A{A}_{1}}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{A{A}_{1}}|•|\overrightarrow{n}|}$|=$\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{6}}{4}$，
∴側(cè)棱AA₁與平面AB₁C所成角的正弦值為$\frac{\sqrt{6}}{4}$．…（6分）
（2）∵$\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}$，而$\overrightarrow{BA}=（-\sqrt{3}，-1，0）$，$\overrightarrow{BC}=（-\sqrt{3}，1，0）$，
∴$\overrightarrow{BD}$=（-2$\sqrt{3}$，0，0），又∵B（$\sqrt{3}，0，0$），∴點(diǎn)D（-$\sqrt{3}$，0，0）．
假設(shè)存在點(diǎn)P符合題意，則點(diǎn)P的坐標(biāo)可設(shè)為P（0，y，z），∴$\overrightarrow{DP}=（\sqrt{3}，y，z）$．
∵DP∥平面AB₁C，$\overrightarrow{n}$=（-1，0，1）為平面AB₁C的法向量，
∴由$\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{A{A}_{1}}$，得$\left\{\begin{array}{l}{y+1=λ}\\{\sqrt{3}=λ\sqrt{3}}\end{array}\right.$，∴y=0．…（10分）
又DP?平面AB₁C，故存在點(diǎn)P，使DP∥平面AB₁C，其坐標(biāo)為（0，0，$\sqrt{3}$），
即恰好為A₁點(diǎn)．…（12分）

點(diǎn)評 本題考查線面角的正弦值的求法，考查滿足條件的點(diǎn)是否存在的判斷與求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．