Question

15．已知拋物線C的頂點在原點，對稱軸是x軸，拋物線過點M（$\frac{1}{2}$，1）．
（1）求C的方程；
（2）過C的焦點F作直線交拋物線于A，B兩點，若|AB|=$\frac{25}{12}$，|AF|＜|BF|，求|AF|．

Answer 1

分析 （1）通過設(shè)拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為y²=2px，代入點M（$\frac{1}{2}$，1）計算可知p=1，進(jìn)而可得結(jié)論；
（2）通過（1）可知焦點F（$\frac{1}{2}$，0），設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），設(shè)直線AB的方程為x=my+$\frac{1}{2}$，通過聯(lián)立直線AB與拋物線方程，利用韋達(dá)定理及兩點間距離公式計算可知m=±$\frac{\sqrt{6}}{12}$，進(jìn)而利用拋物線的定義計算即得結(jié)論．

解答 解：（1）由題意可設(shè)拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：y²=2px，
∵拋物線過點M（$\frac{1}{2}$，1），
∴p=1，
所以拋物線C的方程為：y²=2x；
（2）由（1）可知焦點F（$\frac{1}{2}$，0），設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
設(shè)直線AB的方程為：x=my+$\frac{1}{2}$，則
聯(lián)立直線AB與拋物線方程，整理可知：y²-2my-1=0，
∴y₁+y₂=2m，y₁y₂=-1，△=4m²+4＞0，
∴|AB|=$\sqrt{1+{m}^{2}}$•$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$
=$\sqrt{1+{m}^{2}}$•$\sqrt{4{m}^{2}+4}$
=2（1+m²）
=$\frac{25}{12}$，
解得：m=±$\frac{\sqrt{6}}{12}$，
∴x₁+x₂=m（y₁+y₂）+1=$\frac{13}{12}$，
x₁x₂=m²y₁y₂+$\frac{m}{2}$（y₁+y₂）+$\frac{1}{4}$=$\frac{1}{4}$，
∴x₁=$\frac{3}{4}$或x₁=$\frac{1}{3}$，
∵|AF|＜|BF|，
∴B（$\frac{3}{4}$，y₁）、A（$\frac{1}{3}$，y₂），
又∵拋物線C的準(zhǔn)線方程為：x=-$\frac{1}{2}$，
∴|AF|=$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{2}$=$\frac{5}{6}$．

點評 本題是一道直線與圓錐曲線的綜合題，考查運算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．