Question

為了解某高中學生視力情況，現(xiàn)從該高中隨機抽取20名學生，經(jīng)校醫(yī)檢查得到每個學生的視力狀況的莖葉圖（以小數(shù)點前的一位數(shù)字為莖，小數(shù)點后的一位數(shù)字為葉）如圖示；

（1）若視力測試縮果不低于5.0，則稱為“健康視力”，求校醫(yī)從這20人中隨機選取3人，至多有1人是“健康枧力”的概率；
（2）以這20人的樣本數(shù)據(jù)來估計整個學校的總體數(shù)據(jù)，若從該校（人數(shù)很多）任選3人，記ξ表示抽到“健康視力”學生的人數(shù)，求ξ的分布列及數(shù)學期望．

Answer 1

考點：離散型隨機變量的期望與方差,古典概型及其概率計算公式

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（1）設A_i表示所取3人中有i（i=0，1）個人是“健康視力”，至多有1人是“健康視力”記為事件A，則P（A）=P（A₀）+P（A₁），由此能求出至多有1人是“健康枧力”的概率．
（2）由題意知ξ的可能取值為0，1，2，3，分別求出相應的概率，由此能求出ξ的分布列及數(shù)學期望．

解答： 解：（1）設A_i表示所取3人中有i（i=0，1）個人是“健康視力”，
至多有1人是“健康視力”記為事件A，
則P（A）=P（A₀）+P（A₁）=

C 3 15

C 3 20

+

C 1 5 C 2 15

C 3 20

=

49

57

．
（2）由題意知ξ的可能取值為0，1，2，3，
P（ξ=0）=(

3

4

)3=

27

64

，
P（ξ=1）=

C

1 3

×

1

4

×(

3

4

)2=

27

64

，
P（ξ=2）=

C

2 3

×(

1

4

)2×

3

4

=

9

64

，
P（ξ=3）=(

1

4

)3=

1

64

，
ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3
P	27 64	27 64	9 64	1 64

∴Eξ=0×

27

64

+1×

27

64

+2×

9

64

+3×

1

64

=

3

4

．

點評：本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期的望的求法，解題時要認真審題，是中檔題．