Question

定義：對任意實數(shù)x，符號[x]表示不超過x的最大整數(shù)．符號{x}表示x的小數(shù)部分，它們之間的關(guān)系是{x}=x
-[x]，例如：[1，3]=1，[-1，3]=-2，{1，3}=0.3，{-1，3}=0.7，根據(jù)以上信息，計算：
（Ⅰ）函數(shù)f（x）=[

x

10

][-

10

x

]（0＜x＜20）的值域為

 

；
（Ⅱ）{

2014

2015

}+{

20142

2015

}+{

20143

2015

}+…+{

20142014

2015

}=

 

．

Answer 1

考點：函數(shù)的值

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=[

x

10

][-

10

x

]=

0，0＜x＜10 -1，10≤x＜20

，從而寫出值域；
（Ⅱ）利用二項展開式可化簡為{

2014n

2015

}=

2014 2015 ，n為奇數(shù) 1 2015 ，n為偶數(shù)

，從而求解．

解答： 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=[

x

10

][-

10

x

]=

0，0＜x＜10 -1，10≤x＜20

，
則其值域為{0，-1}；
（Ⅱ）∵2014ⁿ=（2015-1）ⁿ=

C

0 n

2015ⁿ+

C

1 n

2015^n-1（-1）¹+…+

C

n n

（-1）ⁿ，
∴{

2014n

2015

}=

2014 2015 ，n為奇數(shù) 1 2015 ，n為偶數(shù)

，
則{

2014

2015

}+{

20142

2015

}+{

20143

2015

}+…+{

20142014

2015

}
=（

2014

2015

+

1

2015

）+（

2014

2015

+

1

2015

）+…+（

2014

2015

+

1

2015

）
=2014×

1

2

=1007．
故答案為：{-1，0}，1007．

點評：本題考查了分段函數(shù)與二項展開式的應(yīng)用，屬于中檔題．