Question

已知數(shù)列{ }、{ }滿足：.
（1）求          
（2）證明：數(shù)列{}為等差數(shù)列，并求數(shù)列和{ }的通項公式；
（3）設，求實數(shù)為何值時 恒成立.

Answer 1

（1）；（2）證明見解析，，；（3）≤1.

試題分析：（1）遞推依次求得；（2）可得，化簡可證為等差數(shù)列，求出通項公式，進而求出和{ }的通項公式；（3）裂項法可求，則代入 ，將原不等式恒成立轉化為，利用一元二次函數(shù)知識可得≤1.
解：（1） ∵，∴；        4分
（2）∵，
∴，，
∴ ， ∴ 數(shù)列{}是以4為首項，1為公差的等差數(shù)列，   6分
∴， ，  ∴ ；         8分
（3）  ， ∴，
∴，        10分
由條件可知恒成立即可滿足條件，
設，
當＝1時，恒成立,
當 >1時，由二次函數(shù)的性質知不可能成立,
當<l時，對稱軸 ,              13分
f(n)在為單調遞減函數(shù),    ,
∴    ∴<1時恒成立,             
綜上知：≤1時，恒成立.   14分