函數(shù)f（x）=x3+ax2+bx-2的圖象在與y軸交點的切線方程為y=x+a．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）設(shè)函數(shù)數(shù)學(xué)公式存在極值，求實數(shù)m的取值范圍．

解：（1）由已知可得切點為（0，-2），所以a=-2，
又因為f′（x）=3x2+2ax+b，
所以f′（0）=b=1．
所以函數(shù)解析式為f（x）=x3-2x2+x-2．
（2）由（1）可得：g（x）=x3-2x2+x-2+mx，
所以g′（x）=3x2-4x+1+，令g′（x）=0．
當(dāng)函數(shù)有極值時，方程3x2-4x+1+=0有實根，即△≥0，
由△=4（1-m）≥0，得m≤1．
①當(dāng)m=1時，g′（x）=0有實根x=，在x=左右兩側(cè)均有g(shù)′（x）＞0，故函數(shù)g（x）無極值．
②當(dāng)m＜1時，g′（x）=0有兩個實根，
x1=（2-），x2=（2+），
當(dāng)x變化時，g′（x）、g（x）的變化情況如下表：
故在m∈（-∞，1）時，函數(shù)g（x）有極值；當(dāng)x=（2-）時，g（x）有極大值；當(dāng)x=（2+） 時，g（x）有極小值．
分析：（1）利用切點為（0，-2）和f′（0）=1可得a，b，進(jìn)而求出函數(shù)的解析式．
（2）轉(zhuǎn)化為g′（x）=0有實根．根據(jù)判別式求出對應(yīng)的根，再找函數(shù)的極值即可．
點評：本題考查利用導(dǎo)函數(shù)來研究函數(shù)的極值．在利用導(dǎo)函數(shù)來研究函數(shù)的極值時，分三步①求導(dǎo)函數(shù)，②求導(dǎo)函數(shù)為0的根，③判斷根左右兩側(cè)的符號，若左正右負(fù)，原函數(shù)取極大值；若左負(fù)右正，原函數(shù)取極小值．
練習(xí)冊系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=-x3+ax2+bx+c在（-∞，0）上是減函數(shù)，在（0，1）上是增函數(shù)，函數(shù)f（x）在R上有三個零點．
（1）求b的值；
（2）若1是其中一個零點，求f（2）的取值范圍；
（3）若a=1，g（x）=f′（x）+3x2+lnx，試問過點（2，5）可作多少條直線與曲線y=g（x）相切？請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2007•東城區(qū)一模）已知函數(shù)f（x）=x3+ax2+bx+c，曲線y=f（x）在點x=1處的切線l不過第四象限且斜率為3，又坐標(biāo)原點到切線l的距離為
10
10
，若x=
2
3
時，y=f（x）有極值．
（1）求a，b，c的值；
（2）求y=f（x）在[-3，1]上的最大值和最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•寧波模擬）已知函數(shù)f（x）=x3+ax2-a2x+2，a∈R．
（1）若a＜0時，試求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）若a=0，且曲線y=f（x）在點A、B（A、B不重合）處切線的交點位于直線x=2上，證明：A、B 兩點的橫坐標(biāo)之和小于4；
（3）如果對于一切x1、x2、x3∈[0，1]，總存在以f（x1）、f（x2）、f（x3）為三邊長的三角形，試求正實數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=x3-3ax+b（a≠0），已知曲線y=f（x）在點（2，f（x））處在直線y=8相切．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間與極值點．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

對于函數(shù)f（x）=x3+ax2-x+1的極值情況，4位同學(xué)有下列說法：甲：該函數(shù)必有2個極值；乙：該函數(shù)的極大值必大于1；丙：該函數(shù)的極小值必小于1；�。悍匠蘤（x）=0一定有三個不等的實數(shù)根． 這四種說法中，正確的個數(shù)是（　�。�

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