Question

設(shè)等比數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，已知3S₃=4a₃-a₁，且a₂+a₃=20．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；　
（2）設(shè)b_n=a_n+n，求數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n．

Answer 1

解：（1）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，由題意可得 q≠1．
再由 3×=4-a₁，且a₁q+=20，
化簡得 3（1+q+q²）=4q²-1，且 a₁=．
解得 ，故通項公式為 a_n=1×4^n-1=4^n-1．
（2）∵b_n=a_n+n=4^n-1+n，
∴數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n =（1+4+4²+…+4^n-1）+（1+2+3+…+n）=+=+．
分析：（1）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，由題意可得 q≠1，由3×=4-a₁，且a₁q+=20，求出首項和公比，即可得到數(shù)列{a_n}的通項公式．
（2）根據(jù)b_n=a_n+n=4^n-1+n，利用等比數(shù)列的前n項和公式，等差數(shù)列的前n項和公式求出 數(shù)列{b_n}的前n項和T_n 的值．
點評：本題主要考查等比數(shù)列的通項公式，等比數(shù)列的前n項和公式，等差數(shù)列的前n項和公式的應(yīng)用，屬于中檔題．