Question

如圖，已知點(diǎn)F是拋物線C：y²=x的焦點(diǎn)，S是拋物線C在第一象限內(nèi)的點(diǎn)，且|SF|=

5

4

．
（1）求點(diǎn)S的坐標(biāo)；
（2）以S為圓心的動(dòng)圓與x軸分別交于兩點(diǎn)A，B，直線SA，SB分別交拋物線C于M，N兩點(diǎn)，求直線MN的斜率．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題

分析：（1）設(shè)S（x₀，y₀）（y₀＞0），由已條件推導(dǎo)出|SF|=x₀+

1

4

=

5

4

，由此能求出S點(diǎn)的坐標(biāo)．
（2）設(shè)直線SA的方程為y-1=k（x-1），M（x₁，y₁），由

y-1=k(x-1) y2=x

，求出M點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)直線SB的斜率為-k，同理求出N點(diǎn)坐標(biāo)，由此能求出直線MN的斜率．

解答： 解：（1）設(shè)S（x₀，y₀）（y₀＞0），
∵點(diǎn)F是拋物線C：y²=x的焦點(diǎn)，
S是拋物線C在第一象限內(nèi)的點(diǎn)，且|SF|=

5

4

．
∴F（

1

4

，0），∴|SF|=x₀+

1

4

=

5

4

，
∴x₀=1，∴y₀=1，
∴S點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，1）．
（2）設(shè)直線SA的方程為y-1=k（x-1）（k≠0），
M（x₁，y₁），由

y-1=k(x-1) y2=x

，得ky²-y+1-k=0，
解得：y₁=1（舍），或y₁=

1

k

-1，
∴M（

(1-k)2

k2

，

1

k

-1），
又由已知|SA|=|SB|得，直線SA與SB的斜率互為相反數(shù)，
∴直線SB的斜率為-k，同理得N（

(1+k)2

k2

，-

1

k

-1），
∴KMN=

1 k -1+ 1 k +1

(1-k)2 k2 - (1+k)2 k2

=-

1

2

．
∴直線MN的斜率為-

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線上滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)的求法，考查直線的斜率的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用．