Question

19．在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=4cosα}\\{y=2sinα}\end{array}\right.$（α為參數(shù)），在以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，直線l的極坐標(biāo)方程為$\sqrt{3}$+2ρsin（θ-$\frac{π}{3}$）=0
（1）求橢圓C的普通方程和直線l的直角坐標(biāo)方程；
（2）若橢圓C與直線l相交于A，B兩點(diǎn)，求|AB|

Answer 1

分析 （1）利用cos²α+sin²α=1可把橢圓C的參數(shù)方程$\left\{\begin{array}{l}{x=4cosα}\\{y=2sinα}\end{array}\right.$（α為參數(shù)），化為普通方程．把直線l的極坐標(biāo)方程為$\sqrt{3}$+2ρsin（θ-$\frac{π}{3}$）=0，展開把$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$代入可得直角坐標(biāo)方程．
（2）聯(lián)立化為13x²-24x-4=0，把根與系數(shù)的關(guān)系代入|AB|=$\sqrt{（1+3）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$即可得出．

解答 解：（1）橢圓C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=4cosα}\\{y=2sinα}\end{array}\right.$（α為參數(shù)），化為$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$．
直線l的極坐標(biāo)方程為$\sqrt{3}$+2ρsin（θ-$\frac{π}{3}$）=0，展開為$\sqrt{3}$+2ρ$（\frac{1}{2}sinθ-\frac{\sqrt{3}}{2}cosθ）$=0，化為直角坐標(biāo)方程：$\sqrt{3}$+y-$\sqrt{3}$x=0．
（2）聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{3}x-y-\sqrt{3}=0}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=16}\end{array}\right.$，化為13x²-24x-4=0，∴x₁+x₂=$\frac{24}{13}$，x₁x₂=-$\frac{4}{13}$．
∴|AB|=$\sqrt{（1+3）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$=$\frac{56}{13}$．

點(diǎn)評 本題考查了橢圓的參數(shù)方程化為普通方程、極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、直線與橢圓相交弦長問題，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．