Question

在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，已知a=2，A=．
（I 若||=2，試判定△ABC的形狀；
（II）若sinA+sin（B-C）=2sin2C，求△ABC的面積．

Answer 1

【答案】分析：（I ）通過(guò)a=2，A=，利用余弦定理得到a，b，c的關(guān)系式，通過(guò)||=2，聯(lián)立方程組，求出a，b，c即可判定△ABC的形狀；
（II）利用兩角差的正弦函數(shù)化簡(jiǎn)sinA+sin（B-C）=2sin2C，通過(guò)對(duì)cosC討論，結(jié)合b²+c²-bc=4，求出b，c的值，即可求△ABC的面積．
解答：解：（I ）因?yàn)閍=2，A=．由余弦定理可得b²+c²-bc=4．又||=2．
所以||²=12．即b²+c²+bc=12，所以解得b=c=2．a(chǎn)=2，
所以三角形是正三角形．
（II）由sinA+sin（B-C）=2sin2C得sin（B+C）+sin（B-C）=2sin2C．
即sinBcosC=2sinCcosC．
當(dāng)cosC=0時(shí)C=，B=，c=，b=；
當(dāng)cosC≠0時(shí)，有sinB=2sinC，由正弦定理得b=2c．
聯(lián)立方程組解得b=，c=
所以三角形的面積為S==．
點(diǎn)評(píng)：本題是中檔題，考查余弦定理兩角和與差的三角函數(shù)，在三角形中的應(yīng)用，考查分類討論思想，計(jì)算能力．