Question

2．向量$\overrightarrow m=（\frac{{\sqrt{2}}}{2}，-\frac{{\sqrt{2}}}{2}）$，$\overrightarrow n=（sinx，cosx），x∈（0，π）$，①若$\overrightarrow m∥\overrightarrow n$，則tanx=-1；②若$\overrightarrow m$與$\overrightarrow n$的夾角為$\frac{π}{3}$，則x=$\frac{5π}{12}$．

Answer 1

分析 ①利用向量共線的坐標(biāo)表示可得$sin（x+\frac{π}{4}）=0$，結(jié)合x(chóng)的范圍求得x，則tanx可求；
②由向量數(shù)量積求夾角公式可得$sin（x-\frac{π}{4}）=\frac{1}{2}$，再結(jié)合x(chóng)的范圍求得x．

解答 解：$\overrightarrow m=（\frac{{\sqrt{2}}}{2}，-\frac{{\sqrt{2}}}{2}）$，$\overrightarrow n=（sinx，cosx），x∈（0，π）$，
①由$\overrightarrow m∥\overrightarrow n$，得$\frac{\sqrt{2}}{2}cosx+\frac{\sqrt{2}}{2}sinx=0$，即$sin（x+\frac{π}{4}）=0$，
∵0＜x＜π，∴$\frac{π}{4}＜x+\frac{π}{4}＜\frac{5π}{4}$，則x+$\frac{π}{4}=π$，$x=\frac{3}{4}π$．
∴tanx=-1，
②由$\overrightarrow m$與$\overrightarrow n$的夾角為$\frac{π}{3}$，得cos$\frac{π}{3}$=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}sinx-\frac{\sqrt{2}}{2}cosx}{\sqrt{（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}+（-\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}}•\sqrt{si{n}^{2}x+co{s}^{2}x}}$=$sin（x-\frac{π}{4}）$=$\frac{1}{2}$，
∵0＜x＜π，∴$-\frac{π}{4}＜x-\frac{π}{4}＜\frac{3π}{4}$，則$x-\frac{π}{4}=\frac{π}{6}$，x=$\frac{5π}{12}$．
故答案為：①-1；②$\frac{5π}{12}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查了向量共線的坐標(biāo)表示，訓(xùn)練了利用向量數(shù)量積求夾角公式，是中檔題．