Question

已知函數(shù)f（x）=x²-2ax-2alnx（a∈R，a≠0），則下列說法錯誤的是（　�。�

• A、若a＜0，則f（x）有零點
• B、若f（x）有零點，則a≤

  1

  2

  且a≠0
• C、?a＞0使得f（x）有唯一零點
• D、若f（x）有唯一零點，則a≤

  1

  2

  且a≠0

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應(yīng)用,函數(shù)的零點

專題：閱讀型,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：先將方程f（x）=0進(jìn)行參變量分離，得到2a=

x2

x+lnx

，令g（x）=

x2

x+lnx

，轉(zhuǎn)化成y=2a與y=g（x）的圖象的交點個數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)得到函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)的圖象可得A，C，D都正確，B錯誤．

解答： 解：令f（x）=x²-2ax-2alnx=0，則2a（x+lnx）=x²，
∴2a=

x2

x+lnx

，令g（x）=

x2

x+lnx

，
則g′（x）=

2x(x+lnx)-x2(1+ 1 x )

(x+lnx)2

=

x(x-1+2lnx)

(x+lnx)2

令h（x）=x+lnx，通過作出兩個函數(shù)y=lnx及y=-x的圖象（如右圖）
發(fā)現(xiàn)h（x）有唯一零點在（0，1）上，
設(shè)這個零點為x₀，當(dāng)x∈（0，x₀）時，g′（x）＜0，g（x）在（0，x₀）上單調(diào)遞減，x=x₀是漸近線，
當(dāng)x∈（x₀，1）時，g′（x）＜0，則g（x）在（x₀，1）上單調(diào)遞減，
當(dāng)x∈（1，+∞）時g′（x）＞0，g（x）在（1，+∞）單調(diào)遞增，
∴g（1）=1，可以作出g（x）=

x2

x+lnx

  的大致圖象，
結(jié)合圖象可知，當(dāng)a＜0時，y=2a與y=g（x）的圖象只有一個交點，則函數(shù)y=f（x）只有一個零點，故選項A正確；
若函數(shù)y=f（x）有零點，則a＜0或a≥

1

2

，故選項B不正確；
存在a=

1

2

＞0，函數(shù)y=f（x）有唯一零點，故選項C正確；
若函數(shù)y=f（x）有唯一零點，則a=

1

2

或a＜0，則a≤

1

2

且a≠0，故選項D正確．
故選：B．

點評：本題考查了函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系．函數(shù)的零點等價于對應(yīng)方程的根，等價于函數(shù)的圖象與x軸交點的橫坐標(biāo)，解題時要注意根據(jù)題意合理的選擇轉(zhuǎn)化．常運用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．屬于中檔題．