Question

在等腰直角三角形ABC中，D是斜邊BC的中點(diǎn)，沿AD將△ABD折起，使∠BDC=90°．
（Ⅰ）求證：CD⊥平面ABD；
（Ⅱ）求二面角A-BC-D的余弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)題意，要證明線面垂直，只需證明兩個線線垂直．
（Ⅱ）二面角A-BC-D的余弦值即為其平面角∠AED的余弦值，通過△ABC是正三角形，求出即可．

解答：解：（Ⅰ）證明：因?yàn)椤鰽BC是等腰直角三角形，D是斜邊BC的中點(diǎn)，所以AD⊥CD．
又∠BDC=90°，所以BD⊥CD．因?yàn)锳D與BD交于點(diǎn)D，所以CD⊥面ABD．
（Ⅱ）解：如圖，取BC的中點(diǎn)E，連DE、AE
因?yàn)锳B=AC，則AE⊥BC．因?yàn)锽D=CD，則DE⊥BC．
所以∠AED為二面角A-BC-D的平面角．
因?yàn)锳D⊥BD，AD⊥CD，所以AD⊥面BCD．
設(shè)AD=1，則BD=DC=1，AB=AC=BC=

2

．
從而△ABC是正三角形，所以AE=

2

sin60°=

6

2

．
在Rt△ADE中，sin∠AED=

AD

AE

=

6

3

．
所以cos∠AED=

3

3

，
故二面角A-BC-D的余弦值為：

3

3

．

點(diǎn)評：本題考查直線與平面垂直的判定，以及與二面角相關(guān)的綜合問題的考查．通過數(shù)形結(jié)合，以及知識的綜合運(yùn)用，求出結(jié)論，屬于中檔題．