Question

已知函數(shù)f（x）滿足f（x+1）[f（x）+1]=1．當x∈[0，1]時，f（x）=x，若g（x）=f（x）-m（x+1）在區(qū)間（-1，2]有3個零點，則實數(shù)m的取值范圍是（　　）

• A．（0，

  1

  2

  ）
• B．[

  1

  3

  ，

  1

  2

  ）
• C．[

  1

  6

  ，

  1

  2

  ）
• D．（0，

  1

  3

  ）

Answer 1

分析：先求出f（x）在區(qū)間（-1，2]上的解析式，令g（x）=f（x）-mx-m=0，即有f（x）=mx+m，在同一坐標系內(nèi)畫出y=f（x）和y=mx+m的圖象，
轉(zhuǎn)化為圖象有三個不同的交點的條件，數(shù)形結(jié)合求出實數(shù)m的取值范圍．

解答：解：當x∈（-1，0]時，x+1∈（0，1]，f（x）=x，由函數(shù)f（x）滿足f（x+1）[f（x）+1]=1可得，
f（x）=

1

f(x+1)

-1=

1

x+1

-1=-

x

x+1

．
當x∈[1，2]時，x-1∈[0，1]，由f（x+1）[f（x）+1]=1可得 f（x）[f（x-1）+1]=1，故 f（x）=

1

f(x-1)+1

=

1

x

．
由g（x）=f（x）-m（x+1）在區(qū)間（-1，2]有3個零點，可得函數(shù) y=f（x）的圖象和y=mx+m的圖象有3個交點．
在同一坐標系內(nèi)畫出y=f（x）和y=mx+m的圖象，如圖所示：
動直線y=mx+m過定點（-1，0），當x=1時，y=2m＜1，當x=2時，y=3m≥

1

2

，解得

1

6

≤m＜

1

2

．
由圖象可知當

1

6

≤m＜

1

2

時，兩圖象有三個不同的交點，從而g（x）=f（x）-mx-m有三個不同的零點，
故選C．

點評：本題考查函數(shù)零點的意義及個數(shù)求解．函數(shù)與方程的思想．利用函數(shù)的圖象可以加強直觀性，本題先由已知條件轉(zhuǎn)化為判斷兩函數(shù)圖象交點個數(shù)，再利用函數(shù)圖象解決．