Question

從2008年9月12日含有三聚氰胺的“三鹿”嬰兒毒奶粉事件曝光后，國(guó)家質(zhì)檢部門加大了對(duì)各種乳制品的檢查力度．現(xiàn)隨機(jī)抽取某品牌乳制品企業(yè)的某種產(chǎn)品200件，經(jīng)質(zhì)檢，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件．已知生產(chǎn)1件一、二、三等品獲得的利潤(rùn)分別為6萬(wàn)元、2萬(wàn)元、1萬(wàn)元，而1件次品虧損2萬(wàn)元．設(shè)1件產(chǎn)品的利潤(rùn)（單位：萬(wàn)元）為ξ．
（Ⅰ）求ξ的分布列及1件產(chǎn)品的平均利潤(rùn)；
（Ⅱ）為了提高乳制品的質(zhì)量，國(guó)內(nèi)某名牌乳制品企業(yè)經(jīng)技術(shù)革新，雖然仍有四個(gè)等級(jí)的產(chǎn)品，但次品率降為1%，一等品率提高為70%．如果此時(shí)要求1件產(chǎn)品的平均利潤(rùn)不小于4.73萬(wàn)元，求三等品率最多是多少？

Answer 1

分析：（I）求出ξ的所有取值以及ξ取每一個(gè)值的概率值，列出分布列，利用隨機(jī)變量的期望公式求出1件產(chǎn)品的平均利潤(rùn)；
（II）設(shè)三等品率最多為x，列出隨機(jī)變量ξ的分布列，利用隨機(jī)變量的期望公式列出關(guān)于x的不等式，求出x的范圍．

解答：（Ⅰ）ξ的取值：6、2、1、-2…（1分）
P（ξ=6）=

126

200

=0.63；P（ξ=2）=

50

200

=0.25；
P（ξ=1）=

20

200

=0.1；P（ξ=-2）=

4

200

=0.02；  …（4分）
ξ的分布列：

ξ	6	2	1	-2
P	0.63	0.25	0.1	0.02

Eξ=6×0.63+2×0.25+1×0.1+（-2）×0.02=4.34…（6分）
（Ⅱ）設(shè)三等品率最多為x．

ξ	6	2	1	-2
P	0.7	0.29-x	x	0.01

…（9分）
Eξ=6×0.7+2×（0.29-x）+1×x+（-2）×0.01≥4.73
∴x≤0.03
∴三等品率最多為3%    …12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了離散型隨機(jī)變量及其分布列和離散型隨機(jī)變量的期望與方差，屬于基礎(chǔ)題之列．