Question

5．已知拋物線y²=4x，點(diǎn)A（1，2），過點(diǎn)A任意作兩條傾斜角互補(bǔ)的直線，分別于拋物線交于兩點(diǎn)P，Q．證明：直線PQ的斜率為定值．

Answer 1

分析 由P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）在拋物線y²=4x上，得到兩方程，作差，結(jié)合斜率公式，可得PQ的斜率，同理可得AP，AQ的斜率，由k_AP=-k_AQ，可得y₁+y₂=-4，由此能夠證明直線AB的斜率為定值．

解答 證明：∵P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）在拋物線y²=4x上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{{y}_{1}}^{2}=4{x}_{1}}\\{{{y}_{2}}^{2}=4{x}_{2}}\end{array}\right.$，
∴y₁²-y₂²=4（x₁-x₂），
∵x₁≠x₂，
∴k_PQ=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{4}{{y}_{1}+{y}_{2}}$，
同理，k_AP=$\frac{4}{{y}_{1}+2}$，k_AQ=$\frac{4}{{y}_{2}+2}$，
∵k_AP=-k_AQ，
∴$\frac{4}{{y}_{1}+2}$=-$\frac{4}{{y}_{2}+2}$，
∴y₁+y₂=-4，
故直線PQ的斜率k_PQ=$\frac{4}{-4}$=-1（定值）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與拋物線的性質(zhì)和應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．對(duì)數(shù)學(xué)思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強(qiáng)，是高考的重點(diǎn)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．