Question

（本小題滿分12分）

       設函數(shù)f (x)＝ln(x＋a)+x².

（Ⅰ）若當x＝1時，f (x)取得極值，求a的值，并討論f (x)的單調(diào)性；

（Ⅱ）若f (x)存在極值，求a的取值范圍，并證明所有極值之和大于ln.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）；分別在區(qū)間單調(diào)遞增，在區(qū)間單調(diào)遞減．

（Ⅱ），證明見解析

【解析】

（Ⅰ），依題意有，故．

從而．的定義域為，

當時，；當時，；

當時，．

分別在區(qū)間單調(diào)遞增，在區(qū)間單調(diào)遞減．

（Ⅱ）的定義域為，．

方程的判別式．

（�。┤�，即，在的定義域內(nèi)，故無極值．

（ⅱ）若，則或．

若，，．

當時，，

當時，，所以無極值．

若，，，也無極值．

（ⅲ）若，即或，則有兩個不同的實根，．

當時，，從而有的定義域內(nèi)沒有零點，故無極值．

當時，，，在的定義域內(nèi)有兩個不同的零點，由根值判別方法知在取得極值．

綜上，存在極值時，的取值范圍為．

的極值之和為

.