Question

【題目】已知橢圓：（）的左、右焦點分別為，過點的直線交于，兩點，的周長為， 的離心率

（Ⅰ）求的方程；

（Ⅱ）設點，，過點作軸的垂線，試判斷直線與直線的交點是否恒在一條定直線上？若是，求該定直線的方程；否則，說明理由.

Answer 1

【答案】（I）；（II）.

【解析】

（I）由的周長為求得橢圓的a，再離心率，然后求得橢圓的方程；

（II）設直線l：x=my+4，，聯(lián)立方程，運用韋達定理，再寫出直線BD的方程為：與的交點，最后求解計算出與m無關，得出答案.

解：（I）由橢圓的定義，的周長為，即4a=20，解得a=5，

又橢圓的離心率，解得c=4

所以

所以橢圓方程；

（II）顯然過點的直線l不垂直y軸，設l：x=my+4，

聯(lián)立 ，得

韋達定理：

直線的方程為

直線BD的方程為：

解得

又點在直線l上，所以

再代入解得

又

代入解得(與m無關)

故直線與直線BD的交點恒落在直線上.