Question

11．如圖，有一塊半徑為2a（a＞0）的半圓形鋼板，計劃剪裁成等腰梯形ABCD的形狀，它的下底AB是⊙O的直徑，上底CD的端點(diǎn)在圓周上．記AD長為x，梯形周長為y．
（Ⅰ）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并求出定義域；
（Ⅱ）由于鋼板有特殊需要，要求CD長不小于$\frac{7}{2}a$，在此條件下，求梯形周長y的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）作DE⊥AB，由直角三角形的射影定理，可得AE的長，進(jìn)而得到CD，令CD＞0，可得x的范圍，再由y=AB+BC+CD+DA，可得函數(shù)的解析式；
（Ⅱ）運(yùn)用二次函數(shù)的配方，求得對稱軸，由CD長不小于$\frac{7}{2}a$，可得0＜x≤a，由單調(diào)性可得y的最大值．

解答 解：（Ⅰ）如圖，作DE⊥AB，
由已知得：$∠ADB=\frac{π}{2}$，
又AD=x，AB=4a，∴$AE=\frac{x^2}{4a}$，
∴$CD=AB-2AE=4a-\frac{x^2}{2a}$，
∴$y=AB+BC+CD+DA=4a+2x+4a-\frac{x^2}{2a}=-\frac{x^2}{2a}+2x+8a$，
又AD=x＞0，$AE=\frac{x^2}{4a}＞0$，$CD=4a-\frac{x^2}{2a}＞0$，
∴0＜x＜2$\sqrt{2}$a，
所求函數(shù)為：$y=-\frac{x^2}{2a}+2x+8a$$（0＜x＜2\sqrt{2}a）$；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：$y=-\frac{x^2}{2a}+2x+8a$$（0＜x＜2\sqrt{2}a）$，
又$CD=4a-\frac{x^2}{2a}≥\frac{7}{2}a$，
∴0＜x≤a，
又$y=-\frac{x^2}{2a}+2x+8a=-\frac{1}{2a}{（x-2a）^2}+10a$，
區(qū)間（0，a]為增區(qū)間，
∴x=a時，${y_{max}}=\frac{19}{2}a$．

點(diǎn)評 本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用題，主要考查函數(shù)的解析式和最值的求法，屬于中檔題．