Question

定義在（-1，l）上的函數(shù)f （x）滿足：當(dāng)x，y∈（-1，l）時(shí)，f（x）-f （y）=f(

x-y

1-xy

)，并且當(dāng)x∈（-1，0）時(shí)，f （x）＞0；若P=f（

1

3

）+f（

1

4

），Q=f（

1

2

），R=f（0），則P，Q，R的大小關(guān)系為（　　）

A．R＞Q＞P

B．R＞P＞Q

C．P＞Q＞R

D．Q＞P＞R

Answer 1

分析：在已知函數(shù)中令y=x=0可得f（0）=0，令x=0可得f（-y）=-f（y）可得函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，由x∈（-1，0）時(shí)，f （x）＞0可知f（x）是單調(diào)減函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的這些性質(zhì)及已知函數(shù)的關(guān)系可比較P，Q，R的大小

解答：解：∵x，y∈（-1，l）時(shí)，f（x）-f （y）=f(

x-y

1-xy

)，
令y=x=0可得f（0）-f（0）=f（0）
∴f（0）=0
令x=0可得f（0）-f（y）=f（-y），即f（-y）=-f（y）
∴f（-x）=-f（x）
∴函數(shù)f（x）是奇函數(shù)
設(shè)-1＜x₁＜x₂＜0
則-1＜x₁-x₂＜0，0＜1-x₁x₂＜1
∴-1＜(

x1-x2

1-x1x2

)＜0
∴f（x₁）-f（x₂）=f(

x1-x2

1-x1x2

)＞0
即f（x₁）＞f（x₂）
∴f（x）在（-1，0）上是單調(diào)減函數(shù)
根據(jù)奇函數(shù)的對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性相反可知，函數(shù)f（x）在（-1，1）上單調(diào) 遞減
而P=f(

1

3

)+f(

1

4

)=f(

1

3

)-f(-

1

4

)=f(

1 3 + 1 4

1+ 1 12

)=f(

7

13

)
由于

7

13

＞

1

2

＞0，
由單調(diào)性可得R＞Q＞P
故選A

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了函數(shù)的抽象函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性及利用賦值法比較函數(shù)值的大小，屬于函數(shù)知識(shí)的綜合應(yīng)用