Question

已知函數(shù)f（x）=log_a（a^x-1）（a＞0且a≠1）．求證：
（1）函數(shù)f（x）的圖象在y軸的一側(cè)；
（2）函數(shù)f（x）圖象上任意兩點(diǎn)連線的斜率都大于0．

Answer 1

分析：（1）由a^x-1＞0得：a^x＞1，a＞1時(shí)，函數(shù)f（x）的圖象在y軸的右側(cè)；當(dāng)0＜a＜1時(shí)，x＜0，函數(shù)f（x）的圖象在y軸的左側(cè)．所以函數(shù)f（x）的圖象在y軸的一側(cè)．
（2）設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）是函數(shù)f（x）圖象上任意兩點(diǎn)，且x₁＜x₂，則直線AB的斜率k=

y1-y2

x1-x2

，y1-y2=loga(ax1-1)-loga(ax2-1)=loga

ax1-1

ax2-1

，再分a＞1和0＜a＜1兩種情況分別進(jìn)行討論．

解答：證明：（1）由a^x-1＞0得：a^x＞1，
∴當(dāng)a＞1時(shí)，x＞0，即函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），
此時(shí)函數(shù)f（x）的圖象在y軸的右側(cè)；
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，x＜0，即函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?∞，0），
此時(shí)函數(shù)f（x）的圖象在y軸的左側(cè)．
∴函數(shù)f（x）的圖象在y軸的一側(cè)；

（2）設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）是函數(shù)f（x）圖象上任意兩點(diǎn)，且x₁＜x₂，
則直線AB的斜率k=

y1-y2

x1-x2

，
y1-y2=loga(ax1-1)-loga(ax2-1)=loga

ax1-1

ax2-1

，
當(dāng)a＞1時(shí)，由（1）知0＜x₁＜x₂，∴1＜ax1＜ax2，
∴0＜ax1-1＜ax2-1，
∴0＜

ax1-1

ax2-1

＜1，∴y₁-y₂＜0，又x₁-x₂＜0，∴k＞0；
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，由（1）知x₁＜x₂＜0，∴ax1＞ax2＞1，
∴ax1-1＞ax2-1＞0，
∴

ax1-1

ax2-1

＞1，∴y₁-y₂＜0，又x₁-x₂＜0，∴k＞0．
∴函數(shù)f（x）圖象上任意兩點(diǎn)連線的斜率都大于0．

點(diǎn)評：本題考查對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)和綜合應(yīng)用，解題時(shí)注意分類討論思想的合理應(yīng)用．