Question

氣象臺(tái)預(yù)報(bào)，距離S島正東方向300km的A處有一臺(tái)風(fēng)形成，并以每小時(shí)30km的速度向北偏西30°的方向移動(dòng)，在距臺(tái)風(fēng)中心處不超過(guò)270km以內(nèi)的地區(qū)將受到臺(tái)風(fēng)的影響．問(wèn)：
（1）從臺(tái)風(fēng)形成起經(jīng)過(guò)3小時(shí)，S島是否受到影響（精確到0.1km）？
（2）從臺(tái)風(fēng)形成起經(jīng)過(guò)多少小時(shí)，S島開(kāi)始受到臺(tái)風(fēng)的影響？持續(xù)時(shí)間多久？（精確到0.1小時(shí)）

Answer 1

考點(diǎn)：解三角形的實(shí)際應(yīng)用

專(zhuān)題：解三角形

分析：（1）設(shè)臺(tái)風(fēng)中心經(jīng)過(guò)3小時(shí)到達(dá)點(diǎn)B，在△SAB中，由已知結(jié)合余弦定理求得SB，判斷與270的大小后得答案；
（2）設(shè)臺(tái)風(fēng)中心經(jīng)過(guò)t小時(shí)到達(dá)點(diǎn)B，在△SAB中，由已知結(jié)合余弦定理求得SB，再由SB²≤270²列不等式求解t的取值范圍，從而得到S島受到臺(tái)風(fēng)的影響時(shí)刻和持續(xù)時(shí)間．

解答： 解；（1）設(shè)臺(tái)風(fēng)中心經(jīng)過(guò)3小時(shí)到達(dá)點(diǎn)B，
由題意，在△SAB中，SA=300，AB=90，
∠SAB=90°-30°=60°，根據(jù)余弦定理，
SB²=SA²+AB²-2SA•AB•cos∠SAB
=300²+90²-2×300×90cos60°
=71100，
∴SB=

71100

≈266.6＜270．
∴經(jīng)過(guò)3小時(shí)S島已經(jīng)受到了影響．
（2）可設(shè)臺(tái)風(fēng)中心經(jīng)過(guò)t小時(shí)到達(dá)點(diǎn)B，由題意得，
∠SAB=90°-30°=60°．
在△SAB中，SA=300，AB=30t，
由余弦定理，SB²=SA²+AB²-2SA•AB•cos∠SAB=300²+（30t）²-2×300×30tcos60°，
若S島受到臺(tái)風(fēng)影響，則有SB≤270，即SB²≤270²，
化簡(jiǎn)整理得t²-10t+19≤0，解此不等式得5-

6

≤t≤5+

6

．
即t的范圍大約在2.5小時(shí)與7.4小時(shí)之間．
∴從臺(tái)風(fēng)形成起，大約在2.5小時(shí)S島開(kāi)始受到影響，約持續(xù)4.9小時(shí)以后影響結(jié)束．

點(diǎn)評(píng)：本題考查解三角形的實(shí)際應(yīng)用，考查了余弦定理的用法，關(guān)鍵是把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，是中檔題．