在平面四邊形ABCD中，已知AB=3，DC=2，點E，F(xiàn)分別在邊AD，BC上，且
AD
=3
AE
，
BC
=3
BF
．若向量
AB
與
DC
的夾角為60°，則
AB
•
EF
的值為
 
．
分析：設(shè)直線AB和DC相交于點H，則由題意可得∠AHD=60°，再令A(yù)H=DH=5，則△ADH為等邊三角形．△HBC中，由余弦定理求得BC和cos∠HBC=cosθ 的值，可得AE、BF的值，再根據(jù) 
AB
•
EF
=
AB
•（
EA
+
AB
+
BF
）=
AB
•
EA
+
AB
2+
AB
•
BF
，利用兩個向量的數(shù)量積的定義計算求得結(jié)果．
解答：精英家教網(wǎng)解：如圖所示：設(shè)直線AB和DC相交于點H，
則由題意可得∠AHD=60°，
令A(yù)H=DH=5，則由AB=3、DC=2，可得HC=3，BH=2，故△ADH為等邊三角形．
△HBC中，由余弦定理求得BC=
BH2+HC2-2HC•BH•cos60°
=
7
，
AE=
1
3
AD=
5
3
，BF=
1
3
BC=
7
3
．
∴cos∠HBC=cosθ=
BH2+BC2-HC2
2BH•BC
=
7
14
，
∴
AB
•
EF
=
AB
•（
EA
+
AB
+
BF
）=
AB
•
EA
+
AB
2+
AB
•
BF
=3×
5
3
×cos120°+9+3×
7
3
×cosθ
=-
5
2
+9+
1
2
=7，
故答案為：7．
點評：本題主要考查兩個向量的數(shù)量積的定義，兩個向量的加減法的法則，以及其幾何意義，余弦定理的應(yīng)用，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在平面四邊形ABCD中，若AC=3，BD=2，則(
AB
+
DC
)•(
AC
+
BD
)=
 
．
精英家教網(wǎng)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，側(cè)面ABB1A1，ACC1A1均為正方形，∠BAC=90°，點D是棱B1C1的中點．
（Ⅰ）求證：A1D⊥平面BB1C1C；（Ⅱ）求二面角D-A1C-A的余弦值．
（文科）如圖甲，精英家教網(wǎng)在平面四邊形ABCD中，已知∠A=45°，∠C=90°，∠ADC=105°，AB=BD，現(xiàn)將四邊形ABCD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BDC（如圖乙），設(shè)點E、F分別為棱AC、AD的中點．
（Ⅰ）求證：DC⊥平面ABC；
（Ⅱ）設(shè)CD=a，求三棱錐A-BFE的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在平面四邊形ABCD中，AB=BC=CD=a，∠ABC=90°，∠BCD=135°，沿對角線AC將此四邊形折成直二面角．
（1）求證：AB⊥平面BCD
（2）求三棱錐D-ABC的體積
（3）求點C到平面ABD的距離．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2007•武漢模擬）如圖，在平面四邊形ABCD中，AB=AD=1，∠BAD=θ，而△BCD是正三角形，
（1）將四邊形ABCD面積S表示為θ的函數(shù)；
（2）求S的最大值及此時θ角的值．

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