Question

（（10分）．如圖所示，已知四棱錐P—ABCD，底面ABCD為菱形，PA⊥平面ABCD，

∠ABC=60°,E,F分別是BC,PC的中點.

(1)證明:AE⊥PD;

(2)若H為PD上的動點,EH與平面PAD所成最大角的正切值為,

求二面角E—AF—C的余弦值.

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

【解析】

(1)證明  由四邊形ABCD為菱形,∠ABC=60°,

可得△ABC為正三角形.因為E為BC的中點,所以AE⊥BC.又BC∥AD,因此AE⊥AD.

因為PA⊥平面ABCD,AE平面ABCD,所以PA⊥AE.

而PA平面PAD,AD平面PAD且PA∩AD=A,

所以AE⊥平面PAD.又PD平面PAD,所以AE⊥PD.

(2)解  如圖所示，設(shè)AB=2,H為PD上任意一點,連結(jié)AH、EH,

由(1)知,AE⊥平面PAD,

則∠EHA為EH與平面PAD所成的角.

在Rt△EAH中,AE=,

所以,當AH最短時,∠EHA最大,即當AH⊥PD時,∠EHA最大.

此時,tan∠EHA===,因此AH=.又AD=2,所以∠ADH=45°,所以PA=2.

方法一  因為PA⊥平面ABCD,PA平面PAC,

所以,平面PAC⊥平面ABCD.過E作EO⊥AC于O,則EO⊥平面PAC,

過O作OS⊥AF于S,連接ES,則∠ESO為二面角E—AF—C的平面角.

在Rt△AOE中,EO=AE·sin30°=,AO=AE·cos30°=,又F是PC的中點,

在Rt△ASO中,SO=AO·sin45°=,

又SE===,

在Rt△ESO中,cos∠ESO===,

即所求二面角的余弦值為.