Question

15．設Q是曲線T：xy=2（x＞0）上任意一點，l是曲線T在點Q處的切線，且l交坐標軸于A，B兩點，O為坐標原點，則△OAB的面積為4．

Answer 1

分析 設Q（x₀，y₀）為曲線T：y=$\frac{2}{x}$（x＞0）上任一點，過點Q作曲線C的切線l，利用導數(shù)可求得切線l的斜率及方程，從而可求得l與兩坐標軸交于A，B兩點的坐標，繼而可求△OAB的面積．

解答 解：設Q（x₀，y₀）為曲線T：y=$\frac{2}{x}$（x＞0）上任一點，則y₀=$\frac{2}{{x}_{0}}$．
設過曲線C：y=$\frac{2}{x}$上一點Q的切線l的斜率為k，
∵y′=-$\frac{2}{{x}^{2}}$，∴k=-$\frac{2}{{{x}_{0}}^{2}}$，
∴切線l的方程為：y-y₀=-$\frac{2}{{{x}_{0}}^{2}}$（x-x₀），
∴當x=0時，y=$\frac{2}{{x}_{0}}$+y₀=$\frac{4}{{x}_{0}}$，即B（0，$\frac{4}{{x}_{0}}$）；
當y=0時，x=y₀•x₀²+x₀=2x₀，即A（2x₀，0）；
∴S_△OAB=$\frac{1}{2}$|OA|•|OB|=$\frac{1}{2}$×|2x₀|•|$\frac{4}{{x}_{0}}$|=4．
故答案為：4．

點評 本題考查利用導數(shù)求過曲線T：xy=2（x＞0）上一點Q的切線l的斜率，考查直線的方程及截距，考查三角形的面積公式，屬于中檔題．