Question

15．設(shè)Q是曲線(xiàn)T：xy=2（x＞0）上任意一點(diǎn)，l是曲線(xiàn)T在點(diǎn)Q處的切線(xiàn)，且l交坐標(biāo)軸于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則△OAB的面積為4．

Answer 1

分析 設(shè)Q（x₀，y₀）為曲線(xiàn)T：y=$\frac{2}{x}$（x＞0）上任一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)Q作曲線(xiàn)C的切線(xiàn)l，利用導(dǎo)數(shù)可求得切線(xiàn)l的斜率及方程，從而可求得l與兩坐標(biāo)軸交于A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，繼而可求△OAB的面積．

解答 解：設(shè)Q（x₀，y₀）為曲線(xiàn)T：y=$\frac{2}{x}$（x＞0）上任一點(diǎn)，則y₀=$\frac{2}{{x}_{0}}$．
設(shè)過(guò)曲線(xiàn)C：y=$\frac{2}{x}$上一點(diǎn)Q的切線(xiàn)l的斜率為k，
∵y′=-$\frac{2}{{x}^{2}}$，∴k=-$\frac{2}{{{x}_{0}}^{2}}$，
∴切線(xiàn)l的方程為：y-y₀=-$\frac{2}{{{x}_{0}}^{2}}$（x-x₀），
∴當(dāng)x=0時(shí)，y=$\frac{2}{{x}_{0}}$+y₀=$\frac{4}{{x}_{0}}$，即B（0，$\frac{4}{{x}_{0}}$）；
當(dāng)y=0時(shí)，x=y₀•x₀²+x₀=2x₀，即A（2x₀，0）；
∴S_△OAB=$\frac{1}{2}$|OA|•|OB|=$\frac{1}{2}$×|2x₀|•|$\frac{4}{{x}_{0}}$|=4．
故答案為：4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用導(dǎo)數(shù)求過(guò)曲線(xiàn)T：xy=2（x＞0）上一點(diǎn)Q的切線(xiàn)l的斜率，考查直線(xiàn)的方程及截距，考查三角形的面積公式，屬于中檔題．