Question

已知二次函數(shù)，直線，直線（其中，為常數(shù)）；．若直線₁、₂與函數(shù)的圖象以及、軸與函數(shù)的圖象所圍成的封閉圖形如圖陰影所示．

（Ⅰ）求、、的值；

（Ⅱ）求陰影面積關于的函數(shù)的解析式；

（Ⅲ）若問是否存在實數(shù)，使得的圖象與的圖象有且只有兩個不同的交點？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

解：（I）由圖形可知二次函數(shù)的圖象過點（0，0），（8，0），并且的最大值為16

       則，

       ∴函數(shù)的解析式為……………4分

       （Ⅱ）由得

       ∵0≤t≤2，∴直線與的圖象的交點坐標為（……………6分

       由定積分的幾何意義知：

……………9分

（Ⅲ）令

       因為，要使函數(shù)與函數(shù)有且僅有2個不同的交點，則函數(shù)的圖象與軸的正半軸有且只有兩個不同的交點

      

       ∴=1或=3時，

       當∈（0，1）時，是增函數(shù)，當∈（1，3）時，是減函數(shù)，當∈（3，+∞）時，是增函數(shù)……………12分

       又因為當→0時，；當

       所以要使有且僅有兩個不同的正根，必須且只須

       即， ∴或

                                                             ∴當或時，函數(shù)與的圖象有且只有兩個不同交點。…………14分