Question

（2009•金山區(qū)一模）已知函數(shù)f（x）=log_a

1-mx

x-1

在定義域D上是奇函數(shù)，（其中a＞0且a≠1）．
（1）求出m的值，并求出定義域D；
（2）判斷f（x）在（1，+∞）上的單調性，并加以證明；
（3）當x∈（r，a-2）時，f（x）的值的范圍恰為（1，+∞），求a及r的值．

Answer 1

分析：（1）由函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，可得出f（-x）=-f（x），由此方程恒成立，可得出參數(shù)m的方程，解出參數(shù)的值，再由對數(shù)的真數(shù)大于0得出x的不等式，解出函數(shù)的定義域即可；
（2）由于本題中參數(shù)a的取值范圍未定，故應對它的取值范圍分類討論，判斷函數(shù)的單調性再進行證明；
（3）由題設x∈（r，a-2）時，f（x）的值的范圍恰為（1，+∞），可根據(jù)函數(shù)的單調性確定出兩個參數(shù)a及r的方程，解方程得出兩個參數(shù)的值．

解答：解：（1）因為f（x）是奇函數(shù)，所以f（-x）=-f（x），
所以log_a

1-mx

x-1

=log_a

-x-1

1+mx

，…（2分）
即1-m²x²=1-x²對一切x∈D都成立，…（3分）
所以m²=1，m=±1，…（4分）
由于

1-mx

x-1

＞0，所以m=-1…（5分）
所以f（x）=log_a

1+x

x-1

，D=（-∞，-1）∪（1，+∞）…（6分）
（2）當a＞1時，f（x）=log_a

1+x

x-1

，任取x₁，x₂∈（1，+∞），x₁＜x₂，…（7分）
則f（x₁）-f（x₂）=log_a

1+x1

x1-1

-log_a

1+x2

x2-1

=log_a（

2

x1-1

+1）-log_a（

2

x2-1

+1）…（9分）
由于x₁，x₂∈（1，+∞），x₁＜x₂，所以

2

x1-1

+1＞

2

x2-1

+1，得f（x₁）＞f（x₂），…（10分）
【注】只要寫出x₁，x₂∈（1，+∞），x₁＜x₂，f（x₁）-f（x₂）=…=…，得出f（x₁）＞f（x₂）即可．
即f（x）在（1，+∞）上單調遞減…（11分）
同理可得，當0＜a＜1時，f（x）在（1，+∞）上單調遞增 …（13分）
（3）因為x∈（r，a-2），定義域D=（-∞，-1）∪（1，+∞），
1°當r≥1時，則1≤r＜a-2，即a＞3，…（14分）
所以f（x）在（r，a-2）上為減函數(shù)，值域恰為（1，+∞），所以f（a-2）=1，…（15分）
即log_a

1+a-2

a-2-1

=log_a

a-1

a-3

=1，即

a-1

a-3

=a，…（16分）
所以a=2+

3

且r=1 …（18分）
2°當r＜1時，則（r，a-2）?（-∞，-1），所以0＜a＜1
因為f（x）在（r，a-2）上為增函數(shù)，
所以f（r）=1，a-2=-1，
解得a=1與a＞0且a≠1矛盾（舍） …（20分）

點評：本題考察對數(shù)函數(shù)性質的綜合運用，解答本題關鍵是熟練掌握對數(shù)的性質，函數(shù)單調性的證明方法，單調性的運用等結論，本題中第三小問是難點，第二問證明較繁瑣，是本題的重點．本題考察了打理證明的能力，等價轉化的能力以及轉化的思想