Question

（2009•金山區(qū)一模）已知函數(shù)f（x）=log_a

1-mx

x-1

在定義域D上是奇函數(shù)，（其中a＞0且a≠1）．
（1）求出m的值，并求出定義域D；
（2）判斷f（x）在（1，+∞）上的單調(diào)性，并加以證明；
（3）當(dāng)x∈（r，a-2）時(shí)，f（x）的值的范圍恰為（1，+∞），求a及r的值．

Answer 1

分析：（1）由函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，可得出f（-x）=-f（x），由此方程恒成立，可得出參數(shù)m的方程，解出參數(shù)的值，再由對(duì)數(shù)的真數(shù)大于0得出x的不等式，解出函數(shù)的定義域即可；
（2）由于本題中參數(shù)a的取值范圍未定，故應(yīng)對(duì)它的取值范圍分類討論，判斷函數(shù)的單調(diào)性再進(jìn)行證明；
（3）由題設(shè)x∈（r，a-2）時(shí)，f（x）的值的范圍恰為（1，+∞），可根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性確定出兩個(gè)參數(shù)a及r的方程，解方程得出兩個(gè)參數(shù)的值．

解答：解：（1）因?yàn)閒（x）是奇函數(shù)，所以f（-x）=-f（x），
所以log_a

1-mx

x-1

=log_a

-x-1

1+mx

，…（2分）
即1-m²x²=1-x²對(duì)一切x∈D都成立，…（3分）
所以m²=1，m=±1，…（4分）
由于

1-mx

x-1

＞0，所以m=-1…（5分）
所以f（x）=log_a

1+x

x-1

，D=（-∞，-1）∪（1，+∞）…（6分）
（2）當(dāng)a＞1時(shí)，f（x）=log_a

1+x

x-1

，任取x₁，x₂∈（1，+∞），x₁＜x₂，…（7分）
則f（x₁）-f（x₂）=log_a

1+x1

x1-1

-log_a

1+x2

x2-1

=log_a（

2

x1-1

+1）-log_a（

2

x2-1

+1）…（9分）
由于x₁，x₂∈（1，+∞），x₁＜x₂，所以

2

x1-1

+1＞

2

x2-1

+1，得f（x₁）＞f（x₂），…（10分）
【注】只要寫出x₁，x₂∈（1，+∞），x₁＜x₂，f（x₁）-f（x₂）=…=…，得出f（x₁）＞f（x₂）即可．
即f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減…（11分）
同理可得，當(dāng)0＜a＜1時(shí)，f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增 …（13分）
（3）因?yàn)閤∈（r，a-2），定義域D=（-∞，-1）∪（1，+∞），
1°當(dāng)r≥1時(shí)，則1≤r＜a-2，即a＞3，…（14分）
所以f（x）在（r，a-2）上為減函數(shù)，值域恰為（1，+∞），所以f（a-2）=1，…（15分）
即log_a

1+a-2

a-2-1

=log_a

a-1

a-3

=1，即

a-1

a-3

=a，…（16分）
所以a=2+

3

且r=1 …（18分）
2°當(dāng)r＜1時(shí)，則（r，a-2）?（-∞，-1），所以0＜a＜1
因?yàn)閒（x）在（r，a-2）上為增函數(shù)，
所以f（r）=1，a-2=-1，
解得a=1與a＞0且a≠1矛盾（舍） …（20分）

點(diǎn)評(píng)：本題考察對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合運(yùn)用，解答本題關(guān)鍵是熟練掌握對(duì)數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)單調(diào)性的證明方法，單調(diào)性的運(yùn)用等結(jié)論，本題中第三小問(wèn)是難點(diǎn)，第二問(wèn)證明較繁瑣，是本題的重點(diǎn)．本題考察了打理證明的能力，等價(jià)轉(zhuǎn)化的能力以及轉(zhuǎn)化的思想