已知an=
12+22+32+…+n2(n+1)n
n∈N*求證：an＜1．
分析：首先分析題目已知an=
12+22+32+…+n2
(n+1)n
求證：an＜1．考慮到可以應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法求解，首先驗證當n=1時，不等式成立，再假設(shè)n=k（k≥1）時，不等式成立，推得當n=k+1時不等式也成立．即得證．
解答：證明：（1）當n=1時，a1=
1
2
＜1，不等式成立．
（2）假設(shè)n=k（k≥1）時，不等式成立，即ak=
12+22+32+…+k2
(k+1)k
＜1
亦即1+22+32+…+k2＜（k+1）k
當n=k+1時：ak+1=
12+22+32+…+k2+(k+1)2
[(k+1)+1]k+1
＜
(k+1)k+(k+1)k+1
(k+2)k+1
=
(k+1)k+(k+2)
(k+2)k+1
=（
k+1
k+2
）k＜1．
所以n=k+1時，不等式也成立．
由（1）、（2）知，對一切n∈N*，不等式都成立．
即an＜1得證．
點評：此題主要考查由數(shù)學(xué)歸納法證明不等式，數(shù)學(xué)歸納法在高考中屬于重要的考點，應(yīng)用廣泛，需要同學(xué)們靈活掌握．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知{an}為等差數(shù)列，其前n項和為Sn，若a3=6，S3=12，則公差d=
2
2
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知Sn=2an-2n+1（n∈N*）．
（1）求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）設(shè)bn=log
an
n+1
2，數(shù)列{bn}的前n項和為Bn，若存在整數(shù)m，使對任意n∈N*且n≥2，都有B3n-Bn＞
m
20
成立，求m的最大值；
（3）令cn=(-1)n+1log
an
n+1
2，數(shù)列{cn}的前n項和為Tn，求證：當n∈N*且n≥2時，T2n＜
2
2
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知：x∈N*，y∈N*，且 
1
x
+
n2
y
=1（n∈N*）．
（Ⅰ）當n=3時，求x+y的最小值及此時的x、y的值；
（Ⅱ）若n∈N*，當x+y取最小值時，記an=x，bn=y，求an，bn；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，設(shè)Sn=a1+a2+…+an，Tn=b1+b2+…+bn，試求
lim
n→∞
Tn
n•Sn
的值．
注：12+22+32+…+n2=
1
6
n(n+1)(2n+1)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010-2011年江西省高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué) 題型：解答題

（本題滿分12分）

已知{an}是等差數(shù)列，其中a2=22，a7=7

（1）求{an}的通項；

（2）求a2+a4+a6+……+a20的值；

（3）設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為S n，求S n的最大值

 

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