【題目】對于任意給定的無理數(shù)及實(shí)數(shù)，圓周上的有理點(diǎn)的個數(shù)情況是（）

A. 至多一個 B. 至多兩個 C. 至少兩個，個數(shù)有限 D. 無數(shù)多個

【答案】B

【解析】

對于點(diǎn)，用表示上述圓周上有理點(diǎn)的個數(shù).

首先，作一個符合條件的圓，其上至少有兩個有理點(diǎn).

為此，取點(diǎn)，線段中垂線的方程為.在垂線上取點(diǎn)，再取.則以為圓心、為半徑的圓周上至少有這兩個有理點(diǎn).

其次，說明對于任何無理點(diǎn)以及任意正實(shí)數(shù)，都有.

為此，假設(shè)有無理點(diǎn)及正實(shí)數(shù)，在以為圓心、為半徑的圓周上至少有三個有理點(diǎn)（為有理數(shù)，）.則

.

據(jù)前一等式得，①

據(jù)后一等式得.②

則為有理數(shù).

若，則由式①得.

由為無理數(shù)得.

故共點(diǎn)，矛盾.

同理，若，可得共點(diǎn)，矛盾.

若，，由式①、②消去得

為有理數(shù).

因為無理數(shù)，所以，.

從而，.

則三點(diǎn)共線，這與三點(diǎn)共圓矛盾.

因此，所設(shè)不真，即這種圓上至多由兩個有理點(diǎn).

于是，對于所有的無理點(diǎn)及所有正實(shí)數(shù)，的最大值為2. 選B.

練習(xí)冊系列答案
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（1）寫出曲線和直線的直角坐標(biāo)方程；

（2）若直線與軸交點(diǎn)記為，與曲線交于，兩點(diǎn)，Q在x軸下方，求.

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A.B.C.D.

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