Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC⊥BC，AC=BC=1，CC₁=2，點D、E分別是AA₁、CC₁的中點．
（1）求證：AE∥平面BC₁D；
（2）證明：平面BC₁D⊥平面BCD；
（3）求CD與平面BC₁D所成角的正切值．

Answer 1

（1）證明：在矩形ACC₁A₁中，
∵C₁E∥AD，C₁E=AD，∴四邊形AEC₁D是平行四邊形，∴AE∥DC₁，…（2分）
又AE?平面BC₁D，C₁D?平面BC₁D，∴AE∥平面BC₁D…（3分）
（2）證明：直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∵BC⊥CC₁，AC⊥BC，CC₁∩AC=C，
∴BC⊥平面ACC₁A₁，
∵C₁D?平面ACC₁A₁，∴BC⊥C₁D．…（6分）
在矩形ACC₁A₁中，，從而，∴C₁D⊥DC，…（8分）
又DC∩BC=C，∴C₁D⊥平面BCD，…（9分）
∵C₁D?平面BC₁D，∴平面BC₁D⊥平面BCD…（10分）
（3）解：由（2）可知平面BC₁D⊥平面BCD，所以斜線CD在平面BC₁D的射影在BD上，∠BDC為所求 …（12分）
又由（2）可知，所以BC⊥平面ACC₁A₁，所以BC⊥CD
所以，三角形BCD是直角三角形，，∴tan∠BDC=…（14分）
另解：以C₁為原點，C₁A₁，C₁B₁，C₁C為x，y，z軸建立直角坐標系，則 C（0，0，2），D（1，0，1），C₁（0，0，0），B（0，1，2）則
設平面BC₁D的法向量為
由，得 x+1=0；由得 y+2=0
由以上兩式解得x=-1，y=-2，∴…（12分）
設與夾角的為θ，則=，所以，所以所求值為…（14分）
分析：（1）證明AE∥平面BC₁D，利用線面平行的判定，證明AE∥DC₁即可；
（2）證明平面BC₁D⊥平面BCD，利用面面垂直的判定，證明C₁D⊥平面BCD即可；
（3）∠BDC為所求CD與平面BC₁D所成的角，在直角三角形BCD中可求；
另解：建立空間直角坐標系，求得平面BC₁D的法向量，利用向量的夾角公式即可求解．
點評：本題考查線面平行，考查面面垂直，考查線面角，解題的關鍵是正確運用線面平行，面面垂直的判定定理，屬于中檔題．