Question

設(shè){an}是等差數(shù)列，d為公差，并且d≠0，它的前n項(xiàng)和為Sn．設(shè)集合M＝｛(an，)｜n∈N*｝，N＝｛(x，y)｜x2－y2＝1，x、y∈R｝．下列結(jié)論是否正確?如果正確，請(qǐng)給予證明；如果不正確，請(qǐng)舉一個(gè)反例說(shuō)明． (1) 以集合M中的元素為坐標(biāo)的點(diǎn)都在同一條直線上 (2) M∩N中至多有一個(gè)元素 (3) 當(dāng)a1≠0時(shí)，一定有M∩N≠Φ

Answer 1

答案：
解析：

(1)	解：正確．證明如下： 　　∵Sn＝(a1＋an)，∴． 　　這說(shuō)明適合方程y＝(a1＋x)， 　　因此，n∈N*，以為坐標(biāo)的點(diǎn)在直線y＝(x＋a1)上． 　　分析：根據(jù)題目要求，先判斷，后論證．
(2)	正確;設(shè)(x，y)∈M∩N，據(jù)(1)知，(x，y) 是方程組的解，①代入②并化簡(jiǎn)得，2a1x＋＝－4 ③．當(dāng)a1＝0時(shí)③無(wú)解，從而方程組無(wú)解；當(dāng)a1≠0時(shí)，③的解x＝④，從而方程組恰有一解，而且還需使x恰為｛an｝某一項(xiàng)，故M∩N中至多有一個(gè)元素． 　　點(diǎn)評(píng)：判斷時(shí)容易出錯(cuò)，另外反例的構(gòu)造需要一定的技巧．
(3)	不正確;例如取a1＝1．d＝1，我們來(lái)說(shuō)明此時(shí)M∩N≠，用反證法，假設(shè)此時(shí)M∩N≠，則存在m∈N*使∈M∩N，從(2)中的④式知道am＝＝＝－，又有am＝a1＋(m－1)d＝1＋(m－1)·1－m，于是m＝，與m∈N*矛盾，因此當(dāng)a1＝d＝1時(shí)M∩N≠． 　　點(diǎn)評(píng)：判斷時(shí)容易出錯(cuò)，另外反例的構(gòu)造需要一定的技巧．