Question

已知函數(shù)f（x）=log₄（4^x+1）+kx（k∈R）是偶函數(shù)；
(Ⅰ)證明：對(duì)任意實(shí)數(shù)b，函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=-x+b最多只有一個(gè)交點(diǎn)；
(Ⅱ)若方程f（x）=log₄（a·2^x-a）有且只有一個(gè)解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

Answer 1

解：（Ⅰ）由函數(shù)f（x）是偶函數(shù)可得：f（x）=-f（-x），
∴，
∴，
即x=-2kx對(duì)一切x∈R恒成立，
∴，
由題意可知，只要證明函數(shù)在定義域R上為單調(diào)函數(shù)即可，
任取，
則，
，
∴，，
∴，
∴函數(shù)在R上為單調(diào)增函數(shù)，
∴對(duì)任意實(shí)數(shù)b，函數(shù)y=f（x）的圖象與直線最多只有一個(gè)交點(diǎn)。
（Ⅱ）若方程有且只有一解，
也就是方程有且只有一個(gè)實(shí)根，
令，
問題轉(zhuǎn)化為方程：有且只有一個(gè)正根，
（1）若a=1，則，不合題意；
（2）若a≠1時(shí)，由或-3，當(dāng)時(shí)，t=-2不合題意；
當(dāng)a=-3時(shí)，；
（3）若a≠1時(shí)，△＞0，若方程一個(gè)正根與一個(gè)負(fù)根時(shí)，則；
綜上：實(shí)數(shù)a的取值范圍是。