Question

棱長都相等的四面體稱為正四面體．在正四面體A-BCD中，點M，N分別是CD和AD的中點，
給出下列命題：
①直線MN∥平面ABC；
②直線CD⊥平面BMN；
③三棱錐B-AMN的體積是三棱錐B-ACM的體積的一半．
則其中正確命題的序號為________．

Answer 1

①③
分析：由點M，N分別是CD和AD的中點，結合三角形中位線定理及線面平等的判定定理我們可以判斷①的對錯，然后再由線面垂直的判定及性質可以判斷②的真假；再由棱錐體積公式，分析兩個三棱錐的高與底面積之間的關系，判斷出③的正誤，即可得到答案．
解答：∵點M，N分別是CD和AD的中點，
∴MN∥AC
又由MN?平面ABC，AC?平面ABC
∴①直線MN∥平面ABC正確；
由于∠ACD=60°
∴AC與CD不垂直，則NM與CD也不垂直
故直線CD與平面BMN也不垂直
∴②直線CD⊥平面BMN錯誤；
∵三棱錐B-AMN與三棱錐B-ACM的高相等．
△AMN與△ACM高相等且底邊之比為1：2
∴③三棱錐B-AMN的體積是三棱錐B-ACM的體積的一半正確．
故答案為：①、③
點評：本題考查的知識點是直線與平面平行的判定，直線與平面垂直的性質及棱錐的體積，熟練掌握正四面體的幾何特征，是解答本題的關鍵．