Question

定義在（-1，1）上的函數(shù)f（x）滿足：對(duì)任意m，n∈（-1，1）都有f（m）+f（n）=f（

m+n

1+mn

），且當(dāng)x∈（-1，0）時(shí)，有f（x）＞0．
（1）求f（0）的值；
（2）試判斷f（x）的奇偶性；
（3）判斷并證明f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

分析：（1）令m=n=0，可求f（0）的值；
（2）令n=x，m=-x，可得f（-x）+f（x）=0，從而可判斷f（x）的奇偶性；
（3）利用單調(diào)性的定義即可判斷．設(shè)-1＜x₁＜x₂＜1，則f（x₁）-f（x₂）=f（

x1-x2

1-x1x2

），最后可判斷f（

x1-x2

1-x1x2

）＜0．

解答：解：（1）對(duì)條件中的m，n，令m=n=0，f（0）+f（0）=f（0）⇒f（0）=0，
（2）令n=x，m=-x，可得f（-x）+f（x）=f（0）=0，
∴f（-x）=-f（x）
所以f（x）是奇函數(shù)．
（3）設(shè)-1＜x₁＜x₂＜1，則f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）+f（-x₂）=f（

x1-x2

1-x1x2

），
∵x₁-x₂＜0，1-x₁x₂＞0，
∴

x1-x2

1-x1x2

＜0，|

x1-x2

1-x1x2

|＜1，
由條件（2）知f（

x1-x2

1-x1x2

）＞0，從而f（x₁）-f（x₂）＞0，
即f（x₁）＞f（x₂），故f（x）在（-1，1）上單調(diào)遞減．

點(diǎn)評(píng)：本題考查抽象函數(shù)及其用，著重考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，特別是賦值法的考查，屬于中檔題．