已知等差數(shù)列{an}中,公差d>0,其前n項和為Sn,且滿足a2•a3=45,a1+a4=14.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)設bn=2nan(n∈N+),求數(shù)列{bn}的前n項和Tn;
(3)設Fn=(4n-5)•2n+1,試比較Fn與Tn的大。
解:(1)由已知可得
(d>0)解得:
.
∴a
n=1+4(n-1)=4n-3…(4分)
(2)∵b
n=2
na
n=(4n-3)•2
n,
∴T
n=1•2
1+5•2
2+9•2
3+…+(4n-7)•2
n-1+(4n-3)•2
n,①
2T
n=1•2
2+5•2
3+…+(4n-11)•2
n-1+(4n-7)•2
n+(4n-3)•2
n+1,②
①-②得:
-T
n=2+4(2
2+2
3+…+2
n)-(4n-3)•2
n+1=2+4•
-(4n-3)•2
n+1=2+4•2
n+1-16-(4n-3)•2
n+1=-(4n-7)•2
n+1-14
∴T
n=(4n-7)•2
n+1+14…(9分)
(3)∵F
n-T
n=(4n-5)•2
n+1-(4n-7)•2
n+1-14=2
n+2-14,
∴當n≥2時,2
n+2≥2
4=16>14,即2
n+1-14>0,故F
n>T
n;
當n=1時,2
n+2=2
3=8<14,即2
n+1-14<0,故F
n<T
n.
綜上所述,當n=1時,F(xiàn)
n<T
n;當n≥2時,F(xiàn)
n>T
n…(13分)
分析:(1)依題意可得到關于等差數(shù)列的首項與公差的方程組,解之即可;
(2)利用錯位相減法即可求得數(shù)列{b
n}的前n項和T
n;
(3)將F
n與T
n作差,根據(jù)結果對n分類討論即可得到答案.
點評:本題考查等差數(shù)列的通項公式,考查數(shù)列的求和,著重考查錯位相減法的應用,考查方程思想與分類討論思想的綜合應用,屬于難題.