Question

對于如下四個函數(shù)：①f(x)=

1

x

，②f（x）=|x|，③f（x）=2，④f（x）=x²．
其中滿足性質(zhì)：“對于區(qū)間（1，2）上的任意x₁，x₂（x₁≠x₂），|f（x₂）-f（x₁）|＜|x₂-x₁|恒成立”的函數(shù)為

①③

．

Answer 1

分析：把4個選項中的函數(shù)分別代入不等式|f（x₂）-f（x₁）|＜|x₂-x₁|分別驗證是否成立即可得到答案．

解答：解：在區(qū)間（1，2）上的任意實數(shù)x₁，x₂（x₁≠x₂），分別驗證下列4個函數(shù)．
對于①：f(x)=

1

x

f（x）=，|f（x₂）-f（x₁）|=|

1

x2

-

1

x1

|=|

x1-x2

x1x2

|＜|x₂-x₁|（因為x₁，x₂在區(qū)間（1，2）上，故x₁x₂大于1）故成立．
對于②：f（x）=|x|，|f（x₂）-f（x₁）|=||x₂|-|x₁||=|x₂-x₁|，故不成立．
對于③：f（x）=2，|f（x₂）-f（x₁）|=0，∵x₁≠x₂，∴0＜|x₂-x₁|，故成立．
對于④：f（x）=x²，|f（x₂）-f（x₁）|=|x₂²-x₁²|=（x₂+x₁）|x₂-x₁|＞|x₂-x₁|，故不成立．
故答案為：①③．

點評：本題考查新定義，考查絕對值不等式的應用問題．對于此類型的題目需要對題目選項一個一個做分析，然后用排除法作答即可，屬于中檔題．