Question

設(shè){a_n}，{b_n}都是各項(xiàng)為正數(shù)的數(shù)列，對任意的正整數(shù)n，都有a_n，b_n²，a_n+1成等差數(shù)列，b_n²，a_n+1，b_n+1²成等比數(shù)列．
（1）證明數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列；
（2）如果a₁=1，b₁=2，記數(shù)列{

1

an

}的前n項(xiàng)和為S_n，問是否存在常數(shù)λ，使得b_n＞λS_n對任意n∈N^*都成立？若存在，求出λ的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用已知條件可得數(shù)列{b_n}與{a_n}的遞推關(guān)系

an+1=bn•bn+1 an=bn-1•bn

代入2b_n²=a_n+a_n+1整理，然后利用等差中項(xiàng)的證明數(shù)列{b_n}為等差數(shù)列
（2）由a₁=1，b₁=2及①得a₂=7，再由②得b₂=

7

2

從而有a₂=7，b₂=

7

2

從而可得等差數(shù)列{b_n}的首項(xiàng)b₁=2，公差d=b₂-b₁=

3

2

，∴b_n=

3n+1

2

，又a_n=b_n-1b_n可得數(shù)列{a_n}通項(xiàng)公式；假設(shè)存在常數(shù)λ，使得b_n＞λS_n對任意n∈N^*都成立，則有

3n+1

2

＞λ•

4n

3n+1

（n∈N^*），∴λ＜

1

8

(9n+

1

n

+6)，利用研究9n+

1

n

，問題得解．

解答：解：由題意，2b_n²=a_n+a_n-1①，a_n+1²=b_n²b_n+1²②
（1）∵a_n＞0，b_n＞0，∴由②得a_n+1=b_nb_n+1，從而當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=b_n-1b_n，代入①式得2b_n²=b_n-1b_n+b_nb_n+1，即2b_n=b_n-1+b_n+1（n≥2），∴數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列；
（2）a₁=1，b₁=2及①得a₂=7，再由②得b₂=

7

2

，∴等差數(shù)列{b_n}的首項(xiàng)b₁=2，公差d=b₂-b₁=

3

2

，∴bn=

3n+1

2

，
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=b_n-1b_n=

(3n-2)(3n+1)

4

，當(dāng)n=1時(shí)，a₁=1也成立
∴數(shù)列{a_n}通項(xiàng)公式為a_n=

(3n-2)(3n+1)

4

，

1

an

=

4

3

(

1

3n-2

-

1

3n+1

)
∴數(shù)列{

1

an

}的前n項(xiàng)和Sn=

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

=

4

3

(1-

1

3n+1

)=

4n

3n+1

假設(shè)存在常數(shù)λ，使得b_n＞λS_n對任意n∈N^*都成立，則有

3n+1

2

＞λ•

4n

3n+1

（n∈N^*），∴λ＜

1

8

(9n+

1

n

+6)
∵9n+

1

n

≥ 2

9n• 1 n

=6，當(dāng)且僅當(dāng)9n=

1

n

即n=

1

3

時(shí)等號成立，∴當(dāng)n=1時(shí)，9n+

1

n

的最小值為10，，
故存在常數(shù)λ＜2，使得b_n＞λS_n對任意n∈N^*都成立

點(diǎn)評：（1）等差數(shù)列的證明常用的方法（i）定義法：a_n-a_n-1=d；（ii）等差中項(xiàng)法：2a_n=a_n-1+a_n+1
（2）裂項(xiàng)求和是數(shù)列求和中的重要方法，要注意其適用的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)
（3）恒成立問題，利用分離參數(shù)法，結(jié)合求最值求解．